Determine a equação da reta tangente à curva y=2 x+13 x-4 no ponto de abscissa x=-1.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a equação da reta tangente à curva no ponto onde a abscissa . Para isso, vamos usar cálculo diferencial, mais especificamente a derivada, que nos ajuda a encontrar a inclinação da reta tangente em um ponto específico da curva.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o valor de y = 2(-1) + 13(-1) - 4 = -2 + 1-3 - 4 = -1-7 = 17 quando . Isso vai nos dar o ponto exato na curva onde a reta tangente vai tocar.
Substituindo na função:
Então, o ponto de tangência é .

Passo 3

Agora, precisamos encontrar a derivada da função ddx( uv ) = u'v - uv'v^2 em relação a u' = ddx(2x + 1) = 2 , que nos dará a inclinação da reta tangente. A derivada de uma função nos diz a taxa de variação dessa função em um ponto específico.
A função é v' = ddx(3x - 4) = 3 . Vamos usar a regra do quociente para derivar essa função. A regra do quociente diz que:
y' = (2)(3x - 4) - (2x + 1)(3)(3x - 4)^2
Onde y' = 6x - 8 - 6x - 3(3x - 4)^2 = -11(3x - 4)^2 e .
Primeiro, encontramos as derivadas de e :
Aplicando a regra do quociente:
Simplificando o numerador:

Passo 4

Agora que temos a derivada y' = -11(3(-1) - 4)^2 = -11(-3 - 4)^2 = -1149 = -1149 , vamos encontrar a inclinação da reta tangente no ponto .
Substituindo na derivada:
Então, a inclinação da reta tangente é .

Passo 5

Com o ponto y - y1 = m(x - x1) e a inclinação y - 17 = -1149(x - (-1)) y - 17 = -1149(x + 1) , podemos usar a fórmula da equação da reta:
49y - 7 = -11(x + 1) 49y - 7 = -11x - 11 49y = -11x - 4 y = -1149x - 449
Substituindo os valores:
Vamos deixar a equação na forma reduzida:
Multiplicando ambos os lados por 49 para eliminar os denominadores:

Resposta

A equação da reta tangente à curva no ponto y = -1149x - 449 é:

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