Calcule a derivada das funções abaixo:
Passo 1
O enunciado pede para calcular a derivada da função dada. Informações fornecidas:
- A função é
. - Precisa-se encontrar
, a derivada de em relação a .
Passo 2
Observação sobre a estrutura da função (sem resolver ainda): a função é uma composição entre a raiz quadrada e um polinômio. Ou seja, pode-se ver
como
com:
Quando uma função é composição, usamos a regra da cadeia para derivar. Vou explicar essa regra com calma antes de aplicar.
Passo 3
Regra da cadeia (explicação didática):
- Se
, então a derivada é
- Em palavras: deriva-se a função externa
avaliando-a no interior , e multiplica-se pelo derivado da função interna . - Isso é como “desembrulhar” a composição passo a passo: primeiro a casca (externa), depois o recheio (interna).
Passo 4
Derivada da função externa
(explicação passo a passo):
- Usando a regra do expoente (regra de potência): se
, então . - Aqui
, então
- Portanto, ao aplicar a regra da cadeia,
.
Passo 5
Derivada da função interna
(explicação detalhada):
- A derivada do termo
é porque, pela regra de potência, e o coeficiente permanece multiplicando: . - A derivada do termo
é porque e o coeficiente permanece. - A derivada da constante
é . - Somando os resultados:
Passo 6
Aplicando a regra da cadeia e juntando tudo:
- Pela regra da cadeia,
- Substituindo
e , obtemos
- Reescrevendo de forma mais habitual (colocando a fração em destaque):
Passo 7
Comentário final e domínio de validade:
- A fórmula obtida para
vale para todos os tais que o radicando é positivo, isto é, para . Nos pontos onde a derivada pela expressão acima não é definida (a raiz se anula e a expressão diverge). - Se for necessário o valor numérico da derivada em algum ponto específico, basta substituir esse
na expressão acima, lembrando de checar que o radicando seja positivo.