Calcule a derivada das funções abaixo:
y=\sqrt{4 x^{2}+3 x-1}

Passo 1

O enunciado pede para calcular a derivada da função dada. Informações fornecidas:
  • A função é y=\sqrt{4 x^{2}+3 x-1}.
  • Precisa-se encontrar y', a derivada de y em relação a x.

Passo 2

Observação sobre a estrutura da função (sem resolver ainda): a função é uma composição entre a raiz quadrada e um polinômio. Ou seja, pode-se ver y como y = f(g(x)) com:
f(t)=\sqrt{t}=t^{1/2}\qquad\text{e}\qquad g(x)=4x^{2}+3x-1.
Quando uma função é composição, usamos a regra da cadeia para derivar. Vou explicar essa regra com calma antes de aplicar.

Passo 3

Regra da cadeia (explicação didática):
  • Se y=f(g(x)), então a derivada é
y' = f'(g(x))\cdot g'(x).
  • Em palavras: deriva-se a função externa f avaliando-a no interior g(x), e multiplica-se pelo derivado da função interna g(x).
  • Isso é como “desembrulhar” a composição passo a passo: primeiro a casca (externa), depois o recheio (interna).

Passo 4

Derivada da função externa f(t)=t^{1/2} (explicação passo a passo):
  • Usando a regra do expoente (regra de potência): se f(t)=t^{n}, então f'(t)=n\,t^{n-1}.
  • Aqui n=\tfrac{1}{2}, então
f'(t)=\tfrac{1}{2}\,t^{-1/2}=\frac{1}{2\sqrt{t}}.
  • Portanto, ao aplicar a regra da cadeia, f'(g(x))=\dfrac{1}{2\sqrt{g(x)}}.

Passo 5

Derivada da função interna g(x)=4x^{2}+3x-1 (explicação detalhada):
  • A derivada do termo 4x^{2} é 8x porque, pela regra de potência, \dfrac{d}{dx}x^{2}=2x e o coeficiente 4 permanece multiplicando: 4\cdot 2x=8x.
  • A derivada do termo 3x é 3 porque \dfrac{d}{dx}x=1 e o coeficiente 3 permanece.
  • A derivada da constante -1 é 0.
  • Somando os resultados:
g'(x)=8x+3.

Passo 6

Aplicando a regra da cadeia e juntando tudo:
  • Pela regra da cadeia,
y' = f'(g(x))\cdot g'(x).
  • Substituindo f'(g(x))=\dfrac{1}{2\sqrt{g(x)}} e g'(x)=8x+3, obtemos
y'=\frac{1}{2\sqrt{4x^{2}+3x-1}}\cdot(8x+3).
  • Reescrevendo de forma mais habitual (colocando a fração em destaque):
y'=\frac{8x+3}{2\sqrt{4x^{2}+3x-1}}.

Passo 7

Comentário final e domínio de validade:
  • A fórmula obtida para y' vale para todos os x tais que o radicando é positivo, isto é, para 4x^{2}+3x-1>0. Nos pontos onde 4x^{2}+3x-1=0 a derivada pela expressão acima não é definida (a raiz se anula e a expressão diverge).
  • Se for necessário o valor numérico da derivada em algum ponto específico, basta substituir esse x na expressão acima, lembrando de checar que o radicando seja positivo.

Resposta

y'=\frac{8x+3}{2\sqrt{4x^{2}+3x-1}}

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