Calcule os limites (justifique a resposta):
\lim _{x \rightarrow-1} \frac{\sqrt[3]{x+2}-1}{x+1}=

Passo 1

O enunciado pede \displaystyle \lim_{x\to-1}\frac{\sqrt[3]{x+2}-1}{x+1}.
Informações dadas e observações imediatas:
  • A expressão é \displaystyle \frac{\sqrt[3]{x+2}-1}{x+1}.
  • Substituindo x=-1 obtém-se numerador \sqrt[3]{-1+2}-1=\sqrt[3]{1}-1=0 e denominador -1+1=0. Portanto é uma forma indeterminada do tipo 0/0.
  • O objetivo é calcular o limite e justificar por que o valor encontrado está correto.

Passo 2

Estratégia inicial (sem usar cálculo avançado): eliminar a indeterminação fazendo uma mudança de variável que torne a expressão mais simples. Defino
t=\sqrt[3]{x+2}.
Explico devagar: \sqrt[3]{x+2} é a raiz cúbica de x+2. Assim, por definição de raiz cúbica,
t^3 = x+2.
Queremos relacionar x+1 com t. Subtraindo 1 de ambos os lados de t^3=x+2 obtemos
t^3-1 = (x+2)-1 = x+1.
Portanto a variável t transforma o denominador em t^3-1, e o numerador \sqrt[3]{x+2}-1 vira t-1.

Passo 3

Reescrevendo a expressão em t:
\frac{\sqrt[3]{x+2}-1}{x+1} = \frac{t-1}{t^3-1},\qquad\text{com }t=\sqrt[3]{x+2}.
Agora uso a fatoração conhecida da diferença de cubos. Lembre-se da identidade algébrica (mostro a multiplicação para você não decorar só de vista):
(t-1)(t^2+t+1)=t\cdot t^2 + t\cdot t + t\cdot 1 -1\cdot t^2 -1\cdot t -1\cdot 1 = t^3 -1.
Logo
t^3-1=(t-1)(t^2+t+1).

Passo 4

Usando essa fatoração, para t\neq 1 podemos simplificar:
\frac{t-1}{t^3-1}=\frac{t-1}{(t-1)(t^2+t+1)}=\frac{1}{t^2+t+1}.
Essa simplificação é válida para todos os x (ou t) diferentes de -1 (ou 1) — exatamente os pontos onde a expressão original estava bem definida (fora da indeterminação). O que fazemos agora é estudar o comportamento quando x\to-1, o que corresponde a t=\sqrt[3]{x+2}\to\sqrt[3]{1}=1, porque a função raiz cúbica é contínua.

Passo 5

Como a expressão simplificada é uma função contínua em torno de t=1 (polinômio no denominador não nulo), podemos tomar o limite trocando t pelo seu valor-limite:
\lim_{x\to-1}\frac{\sqrt[3]{x+2}-1}{x+1}=\lim_{t\to1}\frac{1}{t^2+t+1}=\frac{1}{1^2+1+1}=\frac{1}{3}.
Comentário didático: aqui resolvemos a indeterminação 0/0 fatorando a diferença de cubos; alternativa possível seria aplicar a regra de L’Hôpital (derivar numerador e denominador), que também daria 1/3, mas a fatoração é mais direta e elementar.

Resposta

\displaystyle \frac{1}{3}

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