Calcule os limites (justifique a resposta):
Passo 1
O enunciado pede
.
Informações dadas e observações imediatas:
Informações dadas e observações imediatas:
- A expressão é
. - Substituindo
obtém-se numerador e denominador . Portanto é uma forma indeterminada do tipo . - O objetivo é calcular o limite e justificar por que o valor encontrado está correto.
Passo 2
Estratégia inicial (sem usar cálculo avançado): eliminar a indeterminação fazendo uma mudança de variável que torne a expressão mais simples. Defino
Explico devagar:
é a raiz cúbica de
. Assim, por definição de raiz cúbica,
Queremos relacionar
com
. Subtraindo
de ambos os lados de
obtemos
Portanto a variável
transforma o denominador em
, e o numerador
vira
.
Passo 3
Reescrevendo a expressão em
:
Agora uso a fatoração conhecida da diferença de cubos. Lembre-se da identidade algébrica (mostro a multiplicação para você não decorar só de vista):
Logo
Passo 4
Usando essa fatoração, para
podemos simplificar:
Essa simplificação é válida para todos os
(ou
) diferentes de
(ou
) — exatamente os pontos onde a expressão original estava bem definida (fora da indeterminação). O que fazemos agora é estudar o comportamento quando
, o que corresponde a
, porque a função raiz cúbica é contínua.
Passo 5
Como a expressão simplificada é uma função contínua em torno de
(polinômio no denominador não nulo), podemos tomar o limite trocando
pelo seu valor-limite:
Comentário didático: aqui resolvemos a indeterminação
fatorando a diferença de cubos; alternativa possível seria aplicar a regra de L’Hôpital (derivar numerador e denominador), que também daria
, mas a fatoração é mais direta e elementar.