A função considerada é x^{3}\,\operatorname{sen}\dfrac{1}{x}. Aqui vou usar a notação trigonométrica padrão em TeX: \sin (isto é, \operatorname{sen} do enunciado corresponde a \sin).
A expressão \sin\!\left(\dfrac{1}{x}\right) está definida para todo x\neq 0; o limite é pedido quando x se aproxima de 0.
O que se pede: calcular o valor do limite e justificar (ou seja, apresentar raciocínio matemático claro que mostre por que esse valor é o limite).
Passo 2
Propriedade útil sobre o seno (fato básico que vamos usar):
-1 \le \sin t \le 1\quad\text{para todo }t\in\mathbb{R}.
Aplicando isso com t=\dfrac{1}{x} (para x\neq 0) obtemos
-1 \le \sin\!\left(\frac{1}{x}\right) \le 1.
Este fato significa que a função \sin\!\left(\dfrac{1}{x}\right) é sempre limitada entre -1 e 1, mesmo que oscile muito quando x\to 0.
Passo 3
Passo para obter uma desigualdade envolvendo x^{3}\sin(1/x):
use a propriedade do valor absoluto |ab|=|a|\,|b| e o fato de que |\sin(\cdot)|\le 1. Assim,
Isso mostra que para todo \varepsilon>0 existe \delta>0 tal que |x|<\delta implica \left|x^{3}\sin\!\left(\dfrac{1}{x}\right)\right|<\varepsilon. Logo o limite é 0.
Passo 7
Comentário final e dica prática (amigável):
Mesmo que \sin(1/x) oscile sem limite quando x\to 0, o fator x^{3} faz a amplitude dessas oscilações ir a zero muito rápido; por isso o produto tende a zero.
Dica para a prova: quando encontrar uma função oscilante limitada (como \sin, \cos, ou funções limitadas em módulo) multiplicada por um fator que vai a zero, tente o Teorema do Confronto ou a desigualdade do valor absoluto como fizemos aqui. Exemplos parecidos: \lim_{x\to 0} x\sin(1/x)=0, \lim_{x\to 0} x^{2}\cos(1/x)=0.