Calcule os limites (justifique a resposta):
\lim _{x \rightarrow 0} x^{3} \operatorname{sen} \frac{1}{x}=

Passo 1

O enunciado pede para calcular e justificar o limite
\lim_{x\to 0} x^{3}\,\operatorname{sen}\frac{1}{x}.
Informações dadas e observações iniciais:
  • A função considerada é x^{3}\,\operatorname{sen}\dfrac{1}{x}. Aqui vou usar a notação trigonométrica padrão em TeX: \sin (isto é, \operatorname{sen} do enunciado corresponde a \sin).
  • A expressão \sin\!\left(\dfrac{1}{x}\right) está definida para todo x\neq 0; o limite é pedido quando x se aproxima de 0.
  • O que se pede: calcular o valor do limite e justificar (ou seja, apresentar raciocínio matemático claro que mostre por que esse valor é o limite).

Passo 2

Propriedade útil sobre o seno (fato básico que vamos usar):
-1 \le \sin t \le 1\quad\text{para todo }t\in\mathbb{R}.
Aplicando isso com t=\dfrac{1}{x} (para x\neq 0) obtemos
-1 \le \sin\!\left(\frac{1}{x}\right) \le 1.
Este fato significa que a função \sin\!\left(\dfrac{1}{x}\right) é sempre limitada entre -1 e 1, mesmo que oscile muito quando x\to 0.

Passo 3

Passo para obter uma desigualdade envolvendo x^{3}\sin(1/x):
use a propriedade do valor absoluto |ab|=|a|\,|b| e o fato de que |\sin(\cdot)|\le 1. Assim,
\left|x^{3}\sin\!\left(\frac{1}{x}\right)\right| =|x^{3}|\;\left|\sin\!\left(\frac{1}{x}\right)\right| \le |x^{3}|\cdot 1 = |x^{3}|.
Dessa desigualdade decorre também a desigualdade de duas caudas (útil para o teorema do confronto):
-|x^{3}|\le x^{3}\sin\!\left(\frac{1}{x}\right)\le |x^{3}|.

Passo 4

Declaração e ideia do Teorema do Confronto (Teorema do Squeeze):
Se g(x)\le f(x)\le h(x) numa vizinhança de a (exceto possivelmente em a) e
\lim_{x\to a} g(x)=\lim_{x\to a} h(x)=L,
então \lim_{x\to a} f(x)=L.
Intuição: f fica “espremida” entre duas funções que tendem ao mesmo limite, logo f também tende ao mesmo valor.

Passo 5

Aplicando o Teorema do Confronto ao nosso caso:
  • Temos a desigualdade do Passo 3 -|x^{3}|\le x^{3}\sin(1/x)\le |x^{3}|.
  • O limite das funções de comparação é fácil de calcular:
\lim_{x\to 0} -|x^{3}| = 0\qquad\text{e}\qquad \lim_{x\to 0} |x^{3}| = 0,
pois |x^{3}| = |x|^{3} e |x|^{3}\to 0 quando x\to 0.
  • Pelo Teorema do Confronto, a função intermediária x^{3}\sin(1/x) também tem limite igual a esse mesmo valor.

Passo 6

Prova \varepsilon- \delta curta (opcional, formalizar a justificação):
Seja \varepsilon>0 dado. Escolha \delta=\varepsilon^{1/3}>0. Se |x|<\delta então
\left|x^{3}\sin\!\left(\frac{1}{x}\right)\right|\le |x|^{3}<\delta^{3}=(\varepsilon^{1/3})^{3}=\varepsilon.
Isso mostra que para todo \varepsilon>0 existe \delta>0 tal que |x|<\delta implica \left|x^{3}\sin\!\left(\dfrac{1}{x}\right)\right|<\varepsilon. Logo o limite é 0.

Passo 7

Comentário final e dica prática (amigável):
  • Mesmo que \sin(1/x) oscile sem limite quando x\to 0, o fator x^{3} faz a amplitude dessas oscilações ir a zero muito rápido; por isso o produto tende a zero.
  • Dica para a prova: quando encontrar uma função oscilante limitada (como \sin, \cos, ou funções limitadas em módulo) multiplicada por um fator que vai a zero, tente o Teorema do Confronto ou a desigualdade do valor absoluto como fizemos aqui. Exemplos parecidos: \lim_{x\to 0} x\sin(1/x)=0, \lim_{x\to 0} x^{2}\cos(1/x)=0.

Resposta

0

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