Calcule a derivada das funções:
Passo 1
O enunciado pede: calcular a derivada da função
Informações e observações relevantes que recebemos do enunciado:
-
e são constantes (assume-se normalmente e para que as potências reais estejam bem definidas). - A única incógnita é
. - A tarefa é encontrar
, a derivada de em relação a .
Passo 2
Escolha do método e motivo: aqui é muito prático usar diferenciação por logaritmo (log-diferenciação). A ideia é aplicar
em ambos os lados para transformar potências em produtos, o que simplifica bastante a derivada quando a variável aparece no expoente. Em seguida usamos a regra da cadeia e a propriedade
para isolar
.
Passo 3
Aplicando o logaritmo natural em ambos os lados:
Usando
e
, obtemos
Passo 4
Agora diferenciamos ambos os lados em relação a
. Do lado esquerdo aplicamos a regra da cadeia para
:
Do lado direito diferenciamos termo a termo. Vou lembrar como diferenciar cada tipo de termo:
- Se
com constante, então . - Se
, então . - Multiplicar por uma constante (como
ou ) entra como fator na derivada.
Passo 5
Derivando o lado direito:
Distribuindo o sinal negativo:
Portanto, a igualdade das derivadas é
Passo 6
Isolando
multiplicando ambos os lados por
:
Passo 7
Voltando à expressão original de
para escrever a resposta final de forma explícita:
logo
Pode-se também reorganizar o fator entre parênteses, por exemplo: