Calcule a derivada das funções:
f(x)=\frac{a^{3 x}}{b^{3 x^{2}-6 x}}

Passo 1

O enunciado pede: calcular a derivada da função
f(x)=\frac{a^{3x}}{b^{3x^{2}-6x}}.
Informações e observações relevantes que recebemos do enunciado:
  • a e b são constantes (assume-se normalmente a>0 e b>0 para que as potências reais estejam bem definidas).
  • A única incógnita é x.
  • A tarefa é encontrar f'(x), a derivada de f em relação a x.

Passo 2

Escolha do método e motivo: aqui é muito prático usar diferenciação por logaritmo (log-diferenciação). A ideia é aplicar \ln em ambos os lados para transformar potências em produtos, o que simplifica bastante a derivada quando a variável aparece no expoente. Em seguida usamos a regra da cadeia e a propriedade \dfrac{d}{dx}\big(\ln f(x)\big)=\dfrac{f'(x)}{f(x)} para isolar f'(x).

Passo 3

Aplicando o logaritmo natural em ambos os lados:
\ln f(x)=\ln\!\left(\frac{a^{3x}}{b^{3x^{2}-6x}}\right).
Usando \ln\!\left(\dfrac{U}{V}\right)=\ln U-\ln V e \ln\big(c^{g(x)}\big)=g(x)\ln c, obtemos
\ln f(x)=3x\ln a - (3x^{2}-6x)\ln b.

Passo 4

Agora diferenciamos ambos os lados em relação a x. Do lado esquerdo aplicamos a regra da cadeia para \ln f(x):
\frac{d}{dx}\big(\ln f(x)\big)=\frac{f'(x)}{f(x)}.
Do lado direito diferenciamos termo a termo. Vou lembrar como diferenciar cada tipo de termo:
  • Se g(x)=k x com k constante, então g'(x)=k.
  • Se h(x)=3x^{2}-6x, então h'(x)=6x-6.
  • Multiplicar por uma constante (como \ln a ou \ln b) entra como fator na derivada.

Passo 5

Derivando o lado direito:
\frac{d}{dx}\big(3x\ln a - (3x^{2}-6x)\ln b\big) =3\ln a - (6x-6)\ln b.
Distribuindo o sinal negativo:
3\ln a -6x\ln b +6\ln b.
Portanto, a igualdade das derivadas é
\frac{f'(x)}{f(x)} = 3\ln a -6x\ln b +6\ln b.

Passo 6

Isolando f'(x) multiplicando ambos os lados por f(x):
f'(x) = f(x)\,\big(3\ln a -6x\ln b +6\ln b\big).

Passo 7

Voltando à expressão original de f(x) para escrever a resposta final de forma explícita:
f(x)=\frac{a^{3x}}{b^{3x^{2}-6x}},
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f'(x)=\frac{a^{3x}}{b^{3x^{2}-6x}}\big(3\ln a -6x\ln b +6\ln b\big).
Pode-se também reorganizar o fator entre parênteses, por exemplo:
3\ln a +6\ln b -6x\ln b \quad\text{ou}\quad 3\big(\ln a +2\ln b -2x\ln b\big).

Resposta

f'(x)=\frac{a^{3x}}{b^{3x^{2}-6x}}\big(3\ln a -6x\ln b +6\ln b\big).

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