Calcule a derivada das funções a seguir:
f(x)=\frac{\pi}{\left(2 x^{3}-x^{2}\right)^{2}}

Passo 1

O enunciado pede para calcular a derivada da função
f(x)=\dfrac{\pi}{\left(2 x^{3}-x^{2}\right)^{2}}.
Informações relevantes dadas: a função é uma constante \pi dividida por (2x^3-x^2)^2. O objetivo é encontrar f'(x), a derivada em relação a x.

Passo 2

Escolha do método (resumo didático): é mais simples reescrever a função com expoente negativo e aplicar a regra da cadeia combinada com a regra do fator constante. Vou explicar essas regras antes de aplicar.
Regra do fator constante: se f(x)=c\cdot g(x) com c constante, então f'(x)=c\cdot g'(x).
Regra da potência (quando a função é uma potência de outra): se h(x)=\big(u(x)\big)^{n}, então a derivada é dada pela regra da cadeia
h'(x)=n\big(u(x)\big)^{n-1}\cdot u'(x),
onde u'(x) é a derivada da função interna u(x). Aqui n é um número (inteiro ou real) e u(x) depende de x.

Passo 3

Reescrever a função em forma conveniente:
f(x)=\pi\big(2x^{3}-x^{2}\big)^{-2}.
Identificações úteis:
  • função externa: u^{n} com n=-2;
  • função interna: u(x)=2x^{3}-x^{2};
  • constante multiplicativa: c=\pi.
Agora calculo u'(x). Uso a regra da potência simples para cada termo: a derivada de 2x^{3} é 2\cdot 3x^{2}=6x^{2}; a derivada de -x^{2} é -2x. Portanto
u'(x)=6x^{2}-2x.

Passo 4

Aplicando a regra da cadeia e a regra do fator constante:
f'(x)=\pi\cdot (-2)\big(2x^{3}-x^{2}\big)^{-3}\cdot(6x^{2}-2x).
Agora vou simplificar passo a passo. Primeiro multiplico os constantes \pi e -2:
f'(x)=-2\pi\,(6x^{2}-2x)\big(2x^{3}-x^{2}\big)^{-3}.
Fatorando 2x em 6x^{2}-2x (para simplificar):
6x^{2}-2x=2x(3x-1).
Substituindo:
f'(x)=-2\pi\cdot 2x(3x-1)\big(2x^{3}-x^{2}\big)^{-3}=-4\pi x(3x-1)\big(2x^{3}-x^{2}\big)^{-3}.

Passo 5

Continuo a simplificação escrevendo a potência negativa como fração. Primeiro observo que
2x^{3}-x^{2}=x^{2}(2x-1).
Logo
\big(2x^{3}-x^{2}\big)^{3}=\big(x^{2}(2x-1)\big)^{3}=x^{6}(2x-1)^{3}.
Portanto a expressão com expoente negativo vira divisão:
f'(x)=\frac{-4\pi x(3x-1)}{x^{6}(2x-1)^{3}}.
Cancele um fator x no numerador com um dos x^{6} do denominador:
f'(x)=\frac{-4\pi(3x-1)}{x^{5}(2x-1)^{3}}.
Observação de domínio: a função original não está definida em x=0 nem em x=\tfrac{1}{2}, portanto a derivada também não existe nesses pontos.

Resposta

f'(x)=\frac{-4\pi(3x-1)}{x^{5}(2x-1)^{3}}

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