Calcule a derivada das funções a seguir:
Passo 1
O enunciado pede para calcular a derivada da função
.
Informações relevantes dadas: a função é uma constante dividida por
. O objetivo é encontrar
, a derivada em relação a
.
Informações relevantes dadas: a função é uma constante
Passo 2
Escolha do método (resumo didático): é mais simples reescrever a função com expoente negativo e aplicar a regra da cadeia combinada com a regra do fator constante. Vou explicar essas regras antes de aplicar.
Regra do fator constante: se
com
constante, então
.
Regra da potência (quando a função é uma potência de outra): se
, então a derivada é dada pela regra da cadeia
onde
é a derivada da função interna
. Aqui
é um número (inteiro ou real) e
depende de
.
Passo 3
Reescrever a função em forma conveniente:
Identificações úteis:
- função externa:
com ; - função interna:
; - constante multiplicativa:
.
Agora calculo
. Uso a regra da potência simples para cada termo: a derivada de
é
; a derivada de
é
. Portanto
Passo 4
Aplicando a regra da cadeia e a regra do fator constante:
Agora vou simplificar passo a passo. Primeiro multiplico os constantes
e
:
Fatorando
em
(para simplificar):
Substituindo:
Passo 5
Continuo a simplificação escrevendo a potência negativa como fração. Primeiro observo que
Logo
Portanto a expressão com expoente negativo vira divisão:
Cancele um fator
no numerador com um dos
do denominador:
Observação de domínio: a função original não está definida em
nem em
, portanto a derivada também não existe nesses pontos.