Calcule a derivada das funções a seguir:
Passo 1
O que o enunciado dá e o que pede: temos a função
. A pergunta é calcular a derivada
. Ou seja, preciso encontrar a taxa de variação de
em função de
.
Informações relevantes do enunciado:
- A função é uma composição de três coisas: uma potência de expoente
, a função e a função quadrática . - Não há outras condições nem pontos específicos; é para obter a derivada geral.
Passo 2
Estratégia de solução (sem calcular ainda): como a função é composição em cascata, vou usar a regra da cadeia repetidamente. Vou explicar a regra da cadeia de forma bem didática.
Regra da cadeia (ideia): se
, a derivada é
. Em palavras: derivar a função externa mantendo a interna, e multiplicar pela derivada da função interna. Exemplo simples: se
, então aplicando a regra da potência junto com a cadeia:
Aqui a fórmula da potência diz que a derivada de
em relação a
é
; a cadeia multiplica por
.
Também preciso lembrar duas derivadas básicas:
- Derivada da função cosseno:
. - Derivada da função quadrática:
.
Passo 3
Aplicando a ideia, faço uma primeira identificação de camadas para organizar os cálculos. Defino
Agora uso a regra da potência com cadeia: a derivada de
em relação a
é
Substituindo
de volta:
Passo 4
Agora preciso calcular
. Lembro que
com
. Uso novamente a regra da cadeia: derivada de
é
avaliada na interna, multiplicada pela derivada da interna. Assim
Como
, obtenho
Passo 5
Volto para a expressão de
e substituo
:
Multiplicando os fatores (e cuidando do sinal):
Observação didática final (como lembrar na prova): sempre tente identificar camadas internas/externas. Aqui a cadeia foi aplicada duas vezes: uma para a potência
e outra para o
. Conhecer as derivadas básicas
e
já resolve o problema quando se aplica a cadeia direitinho. Se quiser, pode factorar de outro jeito, por exemplo escrevendo
como
para usar identidades trigonométricas, mas não é necessário.