Calcule a derivada das funções a seguir:
f(x)=\cos ^{3}\left(x^{2}\right)

Passo 1

O que o enunciado dá e o que pede: temos a função f(x)=\cos^{3}\!\left(x^{2}\right). A pergunta é calcular a derivada f'(x). Ou seja, preciso encontrar a taxa de variação de f em função de x.
Informações relevantes do enunciado:
  • A função é uma composição de três coisas: uma potência de expoente 3, a função \cos e a função quadrática x^{2}.
  • Não há outras condições nem pontos específicos; é para obter a derivada geral.

Passo 2

Estratégia de solução (sem calcular ainda): como a função é composição em cascata, vou usar a regra da cadeia repetidamente. Vou explicar a regra da cadeia de forma bem didática.
Regra da cadeia (ideia): se y = g(h(x)), a derivada é y' = g'(h(x))\cdot h'(x). Em palavras: derivar a função externa mantendo a interna, e multiplicar pela derivada da função interna. Exemplo simples: se y=(u(x))^{3}, então aplicando a regra da potência junto com a cadeia:
y' = 3\bigl(u(x)\bigr)^{2}\cdot u'(x).
Aqui a fórmula da potência diz que a derivada de u^{3} em relação a u é 3u^{2}; a cadeia multiplica por u'(x).
Também preciso lembrar duas derivadas básicas:
  • Derivada da função cosseno: \dfrac{d}{dx}\cos x = -\sin x.
  • Derivada da função quadrática: \dfrac{d}{dx}x^{2} = 2x.

Passo 3

Aplicando a ideia, faço uma primeira identificação de camadas para organizar os cálculos. Defino
u(x)=\cos\!\left(x^{2}\right), \qquad \text{então}\qquad f(x)=\bigl(u(x)\bigr)^{3}.ã
Agora uso a regra da potência com cadeia: a derivada de f em relação a x é
f'(x)=3\bigl(u(x)\bigr)^{2}\cdot u'(x).
Substituindo u(x) de volta:
f'(x)=3\cos^{2}\!\left(x^{2}\right)\cdot u'(x).

Passo 4

Agora preciso calcular u'(x). Lembro que u(x)=\cos\!\bigl(v(x)\bigr) com v(x)=x^{2}. Uso novamente a regra da cadeia: derivada de \cos é -\sin avaliada na interna, multiplicada pela derivada da interna. Assim
u'(x)=\frac{d}{dx}\cos\!\left(v(x)\right) = -\sin\!\left(v(x)\right)\cdot v'(x).
Como v'(x)=\dfrac{d}{dx}x^{2}=2x, obtenho
u'(x)=-\sin\!\left(x^{2}\right)\cdot 2x = -2x\sin\!\left(x^{2}\right).

Passo 5

Volto para a expressão de f'(x) e substituo u'(x):
f'(x)=3\cos^{2}\!\left(x^{2}\right)\cdot\bigl(-2x\sin\!\left(x^{2}\right)\bigr).
Multiplicando os fatores (e cuidando do sinal):
f'(x)=-6x\cos^{2}\!\left(x^{2}\right)\sin\!\left(x^{2}\right).
Observação didática final (como lembrar na prova): sempre tente identificar camadas internas/externas. Aqui a cadeia foi aplicada duas vezes: uma para a potência (\cdot)^3 e outra para o \cos(\cdot). Conhecer as derivadas básicas \dfrac{d}{dx}\cos x = -\sin x e \dfrac{d}{dx}x^{2}=2x já resolve o problema quando se aplica a cadeia direitinho. Se quiser, pode factorar de outro jeito, por exemplo escrevendo \cos^{2} como \cos\cdot\cos para usar identidades trigonométricas, mas não é necessário.

Resposta

f'(x)=-6x\cos^{2}\!\left(x^{2}\right)\sin\!\left(x^{2}\right)

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