Calcule a derivada as funções a seguir, utilizando a regra da cadeia
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A pergunta é para calcular a derivada da função $ f(x) = 5x \cdot \sin\left(5x^{3}+8\right) $ usando a regra da cadeia. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre derivadas de produtos e da regra da cadeia, que nos ajuda a derivar funções compostas.
Passo 2
Primeiro, identifique a função que você precisa derivar. Aqui temos um produto de duas funções:
- $ u(x) = 5x $
- $ v(x) = \sin\left(5x^{3}+8\right) $
Vamos usar a Regra do Produto, que diz que a derivada de $ u \cdot v $ é $ u’ \cdot v + u \cdot v’ $.
Passo 3
Vamos derivar $ u(x) = 5x $. A derivada de $ 5x $ em relação a $ x $ é simplesmente $ 5 $, porque a derivada de $ x $ é $ 1 $ e multiplicamos pela constante.
Passo 4
Agora, vamos derivar $ v(x) = \sin\left(5x^{3}+8\right) $. Aqui usamos a Regra da Cadeia, que é usada para derivar funções compostas. A regra da cadeia diz que se você tem $ \sin(g(x)) $, a derivada é $ \cos(g(x)) \cdot g’(x) $.
Primeiro, identifique $ g(x) = 5x^{3} + 8 $.
Passo 5
Derive $ g(x) = 5x^{3} + 8 $. A derivada de $ 5x^{3} $ é $ 15x^{2} $ (usando a regra do poder) e a derivada de $ 8 $ é $ 0 $ (pois é uma constante).
Passo 6
Agora aplique a regra da cadeia na derivada de $ v(x) $:
Passo 7
Agora que temos $ u’(x) $ e $ v’(x) $, aplique a Regra do Produto:
Substituindo:
Passo 8
Simplifique a expressão:
Resposta
A derivada da função é: