Calcule a derivada as funções a seguir, utilizando a regra da cadeia
f(x)=5 x cdot sen(5 x^3+8)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A pergunta é para calcular a derivada da função $ f(x) = 5x \cdot \sin\left(5x^{3}+8\right) $ usando a regra da cadeia. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre derivadas de produtos e da regra da cadeia, que nos ajuda a derivar funções compostas.

Passo 2

Primeiro, identifique a função que você precisa derivar. Aqui temos um produto de duas funções:
  • $ u(x) = 5x $
  • $ v(x) = \sin\left(5x^{3}+8\right) $
Vamos usar a Regra do Produto, que diz que a derivada de $ u \cdot v $ é $ u’ \cdot v + u \cdot v’ $.

Passo 3

Vamos derivar $ u(x) = 5x $. A derivada de $ 5x $ em relação a $ x $ é simplesmente $ 5 $, porque a derivada de $ x $ é $ 1 $ e multiplicamos pela constante.
u(x) = 5x

Passo 4

Agora, vamos derivar $ v(x) = \sin\left(5x^{3}+8\right) $. Aqui usamos a Regra da Cadeia, que é usada para derivar funções compostas. A regra da cadeia diz que se você tem $ \sin(g(x)) $, a derivada é $ \cos(g(x)) \cdot g’(x) $.
Primeiro, identifique $ g(x) = 5x^{3} + 8 $.

Passo 5

Derive $ g(x) = 5x^{3} + 8 $. A derivada de $ 5x^{3} $ é $ 15x^{2} $ (usando a regra do poder) e a derivada de $ 8 $ é $ 0 $ (pois é uma constante).
g(x) = 5x^3 + 8

Passo 6

Agora aplique a regra da cadeia na derivada de $ v(x) $:
v(x)

Passo 7

Agora que temos $ u’(x) $ e $ v’(x) $, aplique a Regra do Produto:
u'(x)
Substituindo:
v'(x)

Passo 8

Simplifique a expressão:
f'(x) = 5 sin(5x^3+8) + 75x^3 cos(5x^3+8)

Resposta

A derivada da função é:
f'(x) = 5 sin(5x^3+8) + 75x^3 cos(5x^3+8)

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