Sabendo que a equação da reta tangente ao gráfico de uma função y=f(x) no ponto (a, f(a)) é dada por y=f^prime(a) cdot(x-a)+f(a), onde f^prime(a) é a derivada da função no ponto x=a, encontre a reta tangente aos gráficos das funções abaixo nos pontos x=a indicados:
b) f(x)=ln (x) em a=1

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrarmos a reta tangente ao gráfico da função no ponto onde . Aqui, vamos usar conceitos de derivadas e de como encontrar a reta tangente a uma curva em um ponto específico.

Passo 2

Primeiro, a gente precisa encontrar o valor de f(1) = ln(1) , que é a função avaliada em . No caso:
Sabemos que , então .

Passo 3

Agora, vamos precisar da derivada da função f'(x) = 1x , que é f'(1) = 11 = 1 . A derivada de é:
Então, avaliando a derivada em :

Passo 4

Com y = f'(a) cdot (x - a) + f(a) e y = 1 cdot (x - 1) + 0 = x - 1 em mãos, a gente usa a fórmula da reta tangente:
Substituindo os valores que encontramos:

Resposta

A equação da reta tangente é .

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