Calcule a derivada das funções a seguir:
(a) y=\left(\cos ^{3}\left(3 x^{3}\right)+\sin (4 x)\right)^{4}+\operatorname{sec} \left(3 x^{2}\right)

Passo 1

O enunciado pede para calcular a derivada da função y dada por
y=\left(\cos^{3}\left(3x^{3}\right)+\sin(4x)\right)^{4}+\operatorname{sec}\left(3x^{2}\right).
Informações relevantes que o enunciado dá:
\text{A função é }y=f(x)=\bigl(\underbrace{\cos^{3}(3x^{3})}_{\text{parte A}}+\underbrace{\sin(4x)}_{\text{parte B}}\bigr)^{4}+\underbrace{\operatorname{sec}(3x^{2})}_{\text{parte C}}.çãé
O que se pede: encontrar y'=\dfrac{dy}{dx}.

Passo 2

Recordando regras que vamos usar (explicadinhas):
  • Regra da cadeia (para composições): se h(x)=(u(x))^{n} então
h'(x)=n\,(u(x))^{n-1}\,u'(x),
ou seja, derivamos a potência externa e multiplicamos pela derivada da função interna u(x). Exemplo rápido: se h(x)=(g(x))^{4} então h'(x)=4(g(x))^{3}g'(x).
  • Derivadas trigonométricas fundamentais:
\frac{d}{dx}\bigl(\sin(u(x))\bigr)=\cos(u(x))\cdot u'(x), \qquad \frac{d}{dx}\bigl(\cos(u(x))\bigr)=-\sin(u(x))\cdot u'(x),
\frac{d}{dx}\bigl(\operatorname{sec}(u(x))\bigr)=\operatorname{sec}(u(x))\tan(u(x))\cdot u'(x).
Também usaremos a regra da soma: a derivada de soma é soma das derivadas.

Passo 3

Vamos dividir a função em dois termos e derivar cada um:
y = T_1 + T_2, \qquad T_1=\left(\cos^{3}(3x^{3})+\sin(4x)\right)^{4}, \qquad T_2=\operatorname{sec}(3x^{2}).
Logo
y' = T_1' + T_2'.

Passo 4

Derivando T_1 com a regra da cadeia: seja U(x)=\cos^{3}(3x^{3})+\sin(4x). Então T_1=(U(x))^{4} e
T_1' = 4\,(U(x))^{3}\,U'(x).
Agora precisamos de U'(x). Escrevo novamente
U(x)=\cos^{3}(3x^{3})+\sin(4x).
Pela regra da soma,
U'(x)=\frac{d}{dx}\bigl(\cos^{3}(3x^{3})\bigr)+\frac{d}{dx}\bigl(\sin(4x)\bigr).

Passo 5

Derivando \cos^{3}(3x^{3}) passo a passo:
  • Primeiro trato \cos^{3}(3x^{3}) como (V(x))^{3} com V(x)=\cos(3x^{3}).
  • Pela regra da cadeia para potências:
\frac{d}{dx}\bigl((V(x))^{3}\bigr)=3\,(V(x))^{2}\,V'(x).
  • Agora V'(x)=\dfrac{d}{dx}\bigl(\cos(3x^{3})\bigr). Usando derivada de \cos(u):
V'(x)=-\sin(3x^{3})\cdot \frac{d}{dx}(3x^{3}).
  • E \dfrac{d}{dx}(3x^{3})=3\cdot 3x^{2}=9x^{2}.
  • Portanto
V'(x)=-\sin(3x^{3})\cdot 9x^{2}=-9x^{2}\sin(3x^{3}).
  • Substituindo em 3(V(x))^{2}V'(x):
\frac{d}{dx}\bigl(\cos^{3}(3x^{3})\bigr)=3\cos^{2}(3x^{3})\cdot\bigl(-9x^{2}\sin(3x^{3})\bigr).
  • Simplificando os coeficientes:
\frac{d}{dx}\bigl(\cos^{3}(3x^{3})\bigr)=-27x^{2}\cos^{2}(3x^{3})\sin(3x^{3}).

Passo 6

Derivando \sin(4x):
  • Use \dfrac{d}{dx}\sin(u(x))=\cos(u(x))u'(x).
  • Aqui u(x)=4x e u'(x)=4.
  • Então
\frac{d}{dx}\bigl(\sin(4x)\bigr)=4\cos(4x).

Passo 7

Agora junte as duas derivadas para U'(x):
U'(x)=-27x^{2}\cos^{2}(3x^{3})\sin(3x^{3})+4\cos(4x).
Substituindo em T_1':
T_1' = 4\bigl(\cos^{3}(3x^{3})+\sin(4x)\bigr)^{3}\Bigl(-27x^{2}\cos^{2}(3x^{3})\sin(3x^{3})+4\cos(4x)\Bigr).

Passo 8

Derivando T_2=\operatorname{sec}(3x^{2}):
  • Use \dfrac{d}{dx}\operatorname{sec}(u(x))=\operatorname{sec}(u(x))\tan(u(x))u'(x).
  • Aqui u(x)=3x^{2} e u'(x)=6x.
  • Logo
T_2' = 6x\operatorname{sec}(3x^{2})\tan(3x^{2}).

Passo 9

Somando T_1' e T_2' obtemos a derivada total y':
y'=4\bigl(\cos^{3}(3x^{3})+\sin(4x)\bigr)^{3}\Bigl(-27x^{2}\cos^{2}(3x^{3})\sin(3x^{3})+4\cos(4x)\Bigr)+6x\operatorname{sec}(3x^{2})\tan(3x^{2}).

Resposta

y'=4\bigl(\cos^{3}(3x^{3})+\sin(4x)\bigr)^{3}\Bigl(-27x^{2}\cos^{2}(3x^{3})\sin(3x^{3})+4\cos(4x)\Bigr)+6x\operatorname{sec}(3x^{2})\tan(3x^{2}).

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