Uma barra metálica com 30 cm de comprimento, se encontra inicialmente a uma temperatura \mathrm{f}(\mathrm{x})=2+\mathrm{x}, 0 \leq \mathrm{x} \leq 30. Sabendo que a barra se encontra sob condições de contorno de Neumann, estime o valor de \mathrm{u}(10,20).
O enunciado pede para estimar o valor da temperatura na posição x=10 e tempo t=20 para uma barra metálica de comprimento 30 cm com as seguintes informações:
com as condições de contorno de Neumann homogêneas (derivada espacial nula nas extremidades). Para esse problema, é conveniente escrever a solução como série de Fourier em funções próprias que satisfaçam as condições de contorno. As funções próprias para Neumann em [0,L] são
ou seja, uma componente constante (modo zero) mais uma soma de cossenos. A solução estacionária (quando t\to\infty) é a média espacial inicial, que aparece como coeficiente do modo constante.
Passo 3
Explicando a expansão em série (a “aula rápida” que você pediu).
Para condições de Neumann a solução pode ser escrita como
Aqui o fator e^{-\alpha^{2}(n\pi/L)^{2}t} mostra que os modos de alta frequência (maior n) decaem mais rápido; o modo constante não decai (preserva a média).
Passo 4
Calcule a_{0} (a média espacial) explicando cada passo.
Interpretação física: a temperatura média inicial da barra é 17 (unidade implícita), e com extremidades isoladas essa média é preservada ao longo do tempo.
Passo 5
Calcule os coeficientes a_{n} para n\ge 1.
Defina k=\dfrac{n\pi}{L}=\dfrac{n\pi}{30}. Então
Estimativa do erro por truncamento: os termos omitidos (a partir de n=7) são da ordem de 10^{-4} ou menores aqui, então a aproximação está correta para casas decimais mostradas.