Uma barra metálica com 30 cm de comprimento, se encontra inicialmente a uma temperatura \mathrm{f}(\mathrm{x})=2+\mathrm{x}, 0 \leq \mathrm{x} \leq 30. Sabendo que a barra se encontra sob condições de contorno de Neumann, estime o valor de \mathrm{u}(10,20).
Dado: \alpha^{2}=1,0 \mathrm{~cm}^{2} / \mathrm{s}

Passo 1

O enunciado pede para estimar o valor da temperatura na posição x=10 e tempo t=20 para uma barra metálica de comprimento 30 cm com as seguintes informações:
\begin{cases} \text{comprimento } L = 30\\ \text{cm},\\[4pt] \text{condição inicial } u(x,0)=f(x)=2+x,\quad 0\le x\le 30,\\[4pt] \text{condições de contorno de Neumann (isolada): }\left.\dfrac{\partial u}{\partial x}\right|_{x=0}=0,\quad \left.\dfrac{\partial u}{\partial x}\right|_{x=30}=0,\\[4pt] \text{difusividade térmica: } \alpha^{2}=1{,}0\\ \text{cm}^2/\text{s}.\\[4pt] \text{Queremos } u(10,20). \end{cases}çãçõé]

Passo 2

Qual é a equação e a forma geral da solução que vamos usar?
A equação do calor unidimensional é
\frac{\partial u}{\partial t}=\alpha^{2}\frac{\partial^{2} u}{\partial x^{2}},
com as condições de contorno de Neumann homogêneas (derivada espacial nula nas extremidades). Para esse problema, é conveniente escrever a solução como série de Fourier em funções próprias que satisfaçam as condições de contorno. As funções próprias para Neumann em [0,L] são
\phi_{0}(x)=1,\qquad \phi_{n}(x)=\cos\!\left(\frac{n\pi x}{L}\right),\quad n=1,2,\dots
ou seja, uma componente constante (modo zero) mais uma soma de cossenos. A solução estacionária (quando t\to\infty) é a média espacial inicial, que aparece como coeficiente do modo constante.

Passo 3

Explicando a expansão em série (a “aula rápida” que você pediu).
Para condições de Neumann a solução pode ser escrita como
u(x,t)=a_{0}+\sum_{n=1}^{\infty} a_{n}\,e^{-\alpha^{2}(n\pi/L)^{2}t}\cos\!\left(\frac{n\pi x}{L}\right),
onde
a_{0}=\frac{1}{L}\int_{0}^{L} f(x)\,dx
é a média espacial (coeficiente do modo constante) e, para n\ge 1,
a_{n}=\frac{2}{L}\int_{0}^{L} f(x)\cos\!\left(\frac{n\pi x}{L}\right)\,dx.
Aqui o fator e^{-\alpha^{2}(n\pi/L)^{2}t} mostra que os modos de alta frequência (maior n) decaem mais rápido; o modo constante não decai (preserva a média).

Passo 4

Calcule a_{0} (a média espacial) explicando cada passo.
a_{0}=\frac{1}{L}\int_{0}^{L} (2+x)\,dx,\quad L=30.
Calcule a integral:
\int_{0}^{30} (2+x)\,dx = \left[2x+\frac{x^{2}}{2}\right]_{0}^{30} = 2\cdot 30 + \frac{30^{2}}{2}=60+450=510.
Logo
a_{0}=\frac{510}{30}=17.
Interpretação física: a temperatura média inicial da barra é 17 (unidade implícita), e com extremidades isoladas essa média é preservada ao longo do tempo.

Passo 5

Calcule os coeficientes a_{n} para n\ge 1.
Defina k=\dfrac{n\pi}{L}=\dfrac{n\pi}{30}. Então
a_{n}=\frac{2}{L}\int_{0}^{L} (2+x)\cos(kx)\,dx.
Vamos calcular a integral
I_{n}=\int_{0}^{L} (2+x)\cos(kx)\,dx = \int_{0}^{L} 2\cos(kx)\,dx + \int_{0}^{L} x\cos(kx)\,dx.
Calcule cada parte:
\int_{0}^{L}2\cos(kx)\,dx = 2\left[\frac{\sin(kx)}{k}\right]_{0}^{L} = 2\frac{\sin(kL)}{k}.
Agora a integral com x. Use integração por partes: seja u=x, dv=\cos(kx)\,dx. Então du=dx, v=\dfrac{\sin(kx)}{k}. Assim
\int_{0}^{L} x\cos(kx)\,dx = \left.\frac{x\sin(kx)}{k}\right|_{0}^{L} - \int_{0}^{L}\frac{\sin(kx)}{k}\,dx = \frac{L\sin(kL)}{k} + \frac{\cos(kL)-1}{k^{2}}.
Somando as duas partes:
I_{n}=\left(2\frac{\sin(kL)}{k}\right)+\left(\frac{L\sin(kL)}{k} + \frac{\cos(kL)-1}{k^{2}}\right) = (2+L)\frac{\sin(kL)}{k} + \frac{\cos(kL)-1}{k^{2}}.
Agora use que kL=\dfrac{n\pi}{L}\cdot L = n\pi. Portanto \sin(kL)=\sin(n\pi)=0 e \cos(kL)=\cos(n\pi)=(-1)^{n}. Assim
I_{n}=\frac{(-1)^{n}-1}{k^{2}}.
Logo
a_{n}=\frac{2}{L}\cdot I_{n}=\frac{2}{L}\cdot\frac{(-1)^{n}-1}{k^{2}}.
Lembre que k^{2}=\dfrac{n^{2}\pi^{2}}{L^{2}}=\dfrac{n^{2}\pi^{2}}{30^{2}}=\dfrac{n^{2}\pi^{2}}{900}. Então 1/k^{2}=\dfrac{900}{n^{2}\pi^{2}}. Assim
a_{n}=\frac{2}{30}\cdot\frac{(-1)^{n}-1}{k^{2}}=\frac{1}{15}\cdot\frac{(-1)^{n}-1}{k^{2}} = \frac{1}{15}\cdot\frac{(-1)^{n}-1}{1}\cdot\frac{900}{n^{2}\pi^{2}}.
Isto reduz a
a_{n}=60\cdot\frac{(-1)^{n}-1}{n^{2}\pi^{2}}.
Observação importante sobre paridade: se n é par então (-1)^{n}=1 e a_{n}=0. Se n é ímpar então (-1)^{n}=-1 e (-1)^{n}-1=-2, logo
\boxed{a_{n}=\begin{cases} 0, & \text{se }n\text{ é par},\\[4pt] -\dfrac{120}{n^{2}\pi^{2}}, & \text{se }n\text{ é ímpar.} \end{cases}}ééí
Isso simplifica muito: só os modos de ordem ímpar aparecem na série.]

Passo 6

Escreva a solução explícita com os coeficientes encontrados.
Com L=30 e \alpha^{2}=1 temos
u(x,t)=17+\sum_{\substack{n=1\\\ n\\ \text{ímpar}}}^{\infty}\left(-\frac{120}{n^{2}\pi^{2}}\right)e^{-(n\pi/30)^{2}t}\cos\!\left(\frac{n\pi x}{30}\right).í
(Isto reúne o termo constante a_{0}=17 e os termos de soma apenas para n ímpares.)

Passo 7

Agora avalie em x=10 e t=20. Primeiro simplifique os argumentos trigonométricos:
\cos\!\left(\frac{n\pi x}{30}\right)=\cos\!\left(\frac{n\pi\cdot 10}{30}\right)=\cos\!\left(\frac{n\pi}{3}\right).
As potências exponenciais são
e^{-(n\pi/30)^{2}t}=e^{-(n\pi/30)^{2}\cdot 20}=e^{-\left(\dfrac{n\pi}{30}\right)^{2}\,20}.
Vamos calcular os primeiros termos (os maiores) da série (n=1,3,5) e verificar que os seguintes são negligíveis.
Cálculos numéricos (uso de aproximações razoáveis; lembre que \pi^{2}\approx 9{,}8696):
Para n=1:
a_{1}=-\frac{120}{1^{2}\pi^{2}}\approx -\frac{120}{9{,}8696}\approx -12{,}157.
Expoente:
\left(\frac{\pi}{30}\right)^{2}20 = \frac{\pi^{2}}{900}\cdot 20 = \frac{\pi^{2}}{45}\approx \frac{9{,}8696}{45}\approx 0{,}2193,
portanto
e^{-0{,}2193}\approx 0{,}8033.
E \cos(\pi/3)=\tfrac{1}{2}. Assim o termo n=1 dá:
a_{1}e^{-(\pi/30)^{2}20}\cos\!\left(\frac{\pi}{3}\right)\approx -12{,}157\cdot 0{,}8033\cdot \tfrac{1}{2}\approx -4{,}884.
Para n=3:
a_{3}=-\frac{120}{9\pi^{2}}\approx -\frac{120}{88{,}8264}\approx -1{,}351.
Expoente:
\left(\frac{3\pi}{30}\right)^{2}20 = \frac{9\pi^{2}}{900}\cdot 20 = 0{,}2\,\pi^{2}\approx 1{,}9739,
então
e^{-1{,}9739}\approx 0{,}1391.
E \cos(3\pi/3)=\cos(\pi)=-1. Assim o termo n=3 dá:
a_{3}e^{-(3\pi/30)^{2}20}\cos\!\left(\pi\right)\approx -1{,}351\cdot 0{,}1391\cdot (-1)\approx +0{,}188.
Para n=5:
a_{5}=-\frac{120}{25\pi^{2}}\approx -\frac{120}{246{,}740}\approx -0{,}4866.
Expoente:
\left(\frac{5\pi}{30}\right)^{2}20 = \frac{25\pi^{2}}{900}\cdot 20 = \frac{500}{900}\pi^{2}\approx 5{,}483,
então
e^{-5{,}483}\approx 0{,}00415.
E \cos(5\pi/3)=\cos(300^\circ)=\tfrac{1}{2}. Assim o termo n=5 dá:
a_{5}e^{-(5\pi/30)^{2}20}\cos\!\left(\frac{5\pi}{3}\right)\approx -0{,}4866\cdot 0{,}00415\cdot \tfrac{1}{2}\approx -0{,}0010.
Os termos com n\ge 7 terão fatores exponenciais ainda menores (decaem muito rapidamente), portanto são desprezíveis para a precisão prática desejada.

Passo 8

Some o termo constante com os principais termos da série:
u(10,20)\approx a_{0} + (\text{contribuição }n=1) + (\text{contribuição }n=3) + (\text{contribuição }n=5)+\cdotsçãçãçã
Numericamente:
u(10,20)\approx 17 - 4{,}884 + 0{,}188 - 0{,}001 \approx 12{,}303.
Estimativa do erro por truncamento: os termos omitidos (a partir de n=7) são da ordem de 10^{-4} ou menores aqui, então a aproximação está correta para casas decimais mostradas.

Resposta

u(10,20)\approx 12{,}303

Exercícios relacionados