\,L é metade do comprimento do intervalo onde a função foi dada; a função será estendida periodicamente com período 2L.
a_0/2 é o termo constante da série.
a_n mede a projeção de f sobre \cos(n\pi x/L) e b_n mede a projeção sobre \sin(n\pi x/L).
Essas fórmulas vêm da ortogonalidade das funções seno e cosseno no intervalo [-L,L].
Passo 3
Aplicando ao nosso caso: o intervalo dado é (-2,2), logo L=2. A série será com argumentos \cos\!\left(\frac{n\pi x}{2}\right) e \sin\!\left(\frac{n\pi x}{2}\right) e o período da extensão periódica será 2L=4. Então as fórmulas ficam
Observe uma propriedade útil da função: para x\in(0,2) temos f(-x)=(-x)+2=2-x=f(x). Portanto f é uma função par (ou seja, f(-x)=f(x) para -2<x<2). Consequências importantes:
Os termos de seno desaparecem: todos os b_n serão zero, porque o produto de uma função par por uma função ímpar (seno) é ímpar e a integral ímpar em [-2,2] é zero.
Para calcular os coeficientes a_n e a_0 podemos aproveitar a simetria e integrar só de 0 a 2 com um fator 2:
Para \displaystyle \int_{0}^{2}x\cos(\alpha x)\,dx usamos integração por partes com u=x, dv=\cos(\alpha x)\,dx. Então du=dx, v=\dfrac{1}{\alpha}\sin(\alpha x). Assim
Interprete o resultado de a_n\): o fator \(\big(1-(-1)^n\big)\) anula \(a_n\) quando \(n\) é par (porque então \((-1)^n=1\) e \(1-1=0\)), e dá \(2\) quando \(n\) é ímpar (porque então \((-1)^n=-1\) e \(1-(-1)=2\)). Assim
\[a_n=\begin{cases} \dfrac{8}{n^2\pi^2}, & n \text{ ímpar},\\[6pt] 0, & n \text{ par}. \end{cases}
Como já argumentado no Passo 4, todos os (b_n=0] (função par), isto é, b_n=0\quad\text{para todo }n\ge 1.]
Passo 8
Agora juntamos tudo na forma da série de Fourier. Temos a_0/2=1, b_n=0 e a_n só para n ímpar. Portanto a série fica
Sabemos a soma clássica \displaystyle \sum_{k=0}^{\infty}\frac{1}{(2k+1)^2}=\frac{\pi^2}{8}, então a soma acima vale 1+1=2, confirmando coerência da série no ponto x=0.