Encontre a série de Fourier da função
f(x)=\left\{\begin{array}{rr} x+2, & -2<x<0 \\\\ 2-x, & 0<x<2 \end{array}\right.

Passo 1

O enunciado pede: “Encontre a série de Fourier da função” definida por
f(x)=\left\{\begin{array}{rr} x+2, & -2<x<0, \\\\ 2-x, & 0<x<2. \end{array}\right.
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
  • A função está definida no intervalo(-2,2).
  • Ela é dada por duas expressões, uma para-2<x<0e outra para0<x<2.
  • Precisamos construir a série de Fourier (ou seja, a expansão periódica com período4).
]

Passo 2

Antes de calcular: vamos lembrar a fórmula geral da série de Fourier para uma função definida em (-L,L). A expansão é
f(x)\sim \frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}\left[a_n\cos\!\left(\frac{n\pi x}{L}\right)+b_n\sin\!\left(\frac{n\pi x}{L}\right)\right],
onde os coeficientes são dados por
a_0=\frac{1}{L}\int_{-L}^{L}f(x)\,dx, \qquad a_n=\frac{1}{L}\int_{-L}^{L}f(x)\cos\!\left(\frac{n\pi x}{L}\right)\,dx, \qquad b_n=\frac{1}{L}\int_{-L}^{L}f(x)\sin\!\left(\frac{n\pi x}{L}\right)\,dx.
Explicando cada coisa com calma:
  • \,L é metade do comprimento do intervalo onde a função foi dada; a função será estendida periodicamente com período 2L.
  • a_0/2 é o termo constante da série.
  • a_n mede a projeção de f sobre \cos(n\pi x/L) e b_n mede a projeção sobre \sin(n\pi x/L).
  • Essas fórmulas vêm da ortogonalidade das funções seno e cosseno no intervalo [-L,L].

Passo 3

Aplicando ao nosso caso: o intervalo dado é (-2,2), logo L=2. A série será com argumentos \cos\!\left(\frac{n\pi x}{2}\right) e \sin\!\left(\frac{n\pi x}{2}\right) e o período da extensão periódica será 2L=4. Então as fórmulas ficam
a_0=\frac{1}{2}\int_{-2}^{2}f(x)\,dx, \qquad a_n=\frac{1}{2}\int_{-2}^{2}f(x)\cos\!\left(\frac{n\pi x}{2}\right)\,dx, \qquad b_n=\frac{1}{2}\int_{-2}^{2}f(x)\sin\!\left(\frac{n\pi x}{2}\right)\,dx.

Passo 4

Observe uma propriedade útil da função: para x\in(0,2) temos f(-x)=(-x)+2=2-x=f(x). Portanto f é uma função par (ou seja, f(-x)=f(x) para -2<x<2). Consequências importantes:
  • Os termos de seno desaparecem: todos os b_n serão zero, porque o produto de uma função par por uma função ímpar (seno) é ímpar e a integral ímpar em [-2,2] é zero.
  • Para calcular os coeficientes a_n e a_0 podemos aproveitar a simetria e integrar só de 0 a 2 com um fator 2:
a_0=\frac{1}{2}\cdot 2\int_{0}^{2}f(x)\,dx=\int_{0}^{2}f(x)\,dx,
a_n=\frac{1}{2}\cdot 2\int_{0}^{2}f(x)\cos\!\left(\frac{n\pi x}{2}\right)\,dx =\int_{0}^{2}f(x)\cos\!\left(\frac{n\pi x}{2}\right)\,dx.

Passo 5

Calculando a_0. Para 0<x<2 a função vale f(x)=2-x. Então
a_0=\int_{0}^{2}(2-x)\,dx.
Calculando a integral passo a passo:
\int_{0}^{2}(2-x)\,dx=\left[2x-\frac{x^2}{2}\right]_{0}^{2}=2\cdot 2-\frac{2^2}{2}=4-2=2.
Portanto a_0=2. O termo constante da série será \dfrac{a_0}{2}=1.

Passo 6

Agora vamos calcular a_n para n\ge 1. Como vimos,
a_n=\int_{0}^{2}(2-x)\cos\!\left(\frac{n\pi x}{2}\right)\,dx.
Para simplificar, defina \alpha=\dfrac{n\pi}{2}. Então precisamos calcular
I_n=\int_{0}^{2}(2-x)\cos(\alpha x)\,dx.
Separe em duas integrais:
I_n=2\int_{0}^{2}\cos(\alpha x)\,dx-\int_{0}^{2}x\cos(\alpha x)\,dx.
Calcule cada termo:
  1. \displaystyle \int_{0}^{2}\cos(\alpha x)\,dx=\left[\frac{1}{\alpha}\sin(\alpha x)\right]_{0}^{2}=\frac{1}{\alpha}\sin(2\alpha).
  2. Para \displaystyle \int_{0}^{2}x\cos(\alpha x)\,dx usamos integração por partes com u=x, dv=\cos(\alpha x)\,dx. Então du=dx, v=\dfrac{1}{\alpha}\sin(\alpha x). Assim
\int_{0}^{2}x\cos(\alpha x)\,dx=\left.\frac{x}{\alpha}\sin(\alpha x)\right|_{0}^{2}-\int_{0}^{2}\frac{1}{\alpha}\sin(\alpha x)\,dx.
A primeira parcela é \dfrac{2}{\alpha}\sin(2\alpha). A segunda é
\int_{0}^{2}\frac{1}{\alpha}\sin(\alpha x)\,dx=\frac{1}{\alpha}\left[-\frac{1}{\alpha}\cos(\alpha x)\right]_0^2=-\frac{1}{\alpha^2}\big(\cos(2\alpha)-1\big).
Portanto
\int_{0}^{2}x\cos(\alpha x)\,dx=\frac{2}{\alpha}\sin(2\alpha)+\frac{1}{\alpha^2}\big(\cos(2\alpha)-1\big).
Voltando a I_n:
I_n=2\cdot\frac{1}{\alpha}\sin(2\alpha)-\left[\frac{2}{\alpha}\sin(2\alpha)+\frac{1}{\alpha^2}\big(\cos(2\alpha)-1\big)\right].
Simplificando os termos com \sin(2\alpha), que se cancelam,
I_n=-\frac{1}{\alpha^2}\big(\cos(2\alpha)-1\big)=\frac{1}{\alpha^2}\big(1-\cos(2\alpha)\big).
Lembrando \alpha=\dfrac{n\pi}{2} temos \cos(2\alpha)=\cos(n\pi)=(-1)^n. Logo
a_n=I_n=\frac{1}{\alpha^2}\big(1-(-1)^n\big) =\frac{1}{(n\pi/2)^2}\big(1-(-1)^n\big) =\frac{4}{n^2\pi^2}\big(1-(-1)^n\big).

Passo 7

Interprete o resultado de a_n\): o fator \(\big(1-(-1)^n\big)\) anula \(a_n\) quando \(n\) é par (porque então \((-1)^n=1\) e \(1-1=0\)), e dá \(2\) quando \(n\) é ímpar (porque então \((-1)^n=-1\) e \(1-(-1)=2\)). Assim \[a_n=\begin{cases} \dfrac{8}{n^2\pi^2}, & n \text{ ímpar},\\[6pt] 0, & n \text{ par}. \end{cases}
Como já argumentado no Passo 4, todos os (b_n=0] (função par), isto é,
b_n=0\quad\text{para todo }n\ge 1.]

Passo 8

Agora juntamos tudo na forma da série de Fourier. Temos a_0/2=1, b_n=0 e a_n só para n ímpar. Portanto a série fica
f(x)=1+\sum_{\substack{n=1\\\ n\\ \text{ímpar}}}^{\infty}\frac{8}{n^2\pi^2}\cos\!\left(\frac{n\pi x}{2}\right).í
É mais elegante e prática escrever somando sobre índices n=2k+1 ( k=0,1,2,\dots):
f(x)=1+\sum_{k=0}^{\infty}\frac{8}{(2k+1)^2\pi^2}\cos\!\left(\frac{(2k+1)\pi x}{2}\right).

Passo 9

Verificação rápida (para nos animar): em x=0 a função tem valor f(0)=2 (os limites esquerdo e direito valem 2). A série em x=0
1+\sum_{k=0}^{\infty}\frac{8}{(2k+1)^2\pi^2}\cos(0) =1+\frac{8}{\pi^2}\sum_{k=0}^{\infty}\frac{1}{(2k+1)^2}.
Sabemos a soma clássica \displaystyle \sum_{k=0}^{\infty}\frac{1}{(2k+1)^2}=\frac{\pi^2}{8}, então a soma acima vale 1+1=2, confirmando coerência da série no ponto x=0.

Resposta

f(x)=1+\sum_{k=0}^{\infty}\frac{8}{(2k+1)^2\pi^2}\cos\!\left(\frac{(2k+1)\pi x}{2}\right).

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