Calcule a derivada das funções trigonométricas abaixo usando a regra da cadeia.
f(x)=(x \tan x)^{2}

Passo 1

O enunciado pede para calcular a derivada da função
f(x) = (x \tan x)^{2}.
Informações dadas e o que é pedido:
  • A função a derivar é f(x)=(x\tan x)^{2}.
  • Quer-se f'(x), a derivada em relação a x.
    Nada mais foi fornecido; vamos decompor a função para aplicar as regras de diferenciação passo a passo.

Passo 2

Ideia geral (fórmula que vamos usar): quando uma função é composta — ou seja, tem uma parte “externa” aplicada a uma “interna” — usamos a regra da cadeia.
Regra da cadeia (forma prática): se f(x)=h(u(x)) então
f'(x)=h'(u(x))\cdot u'(x).
Um caso simples e útil: para h(u)=u^{2} vale h'(u)=2u. Isso significa que, se f(x)=(u(x))^{2}, então
f'(x)=2u(x)\cdot u'(x).

Passo 3

Identificação das partes da composição para o nosso problema:
  • Função externa: h(u)=u^{2}.
  • Função interna: u(x)=x\tan x.
Pelo ponto anterior,
f'(x)=2\,u(x)\cdot u'(x)=2\,(x\tan x)\cdot u'(x).
Agora precisamos achar u'(x).

Passo 4

Cálculo de u'(x). Aqui u(x)=x\cdot \tan x é produto de duas funções; usamos a regra do produto.
Regra do produto: se u(x)=a(x)b(x) então
u'(x)=a'(x)b(x)+a(x)b'(x).
No nosso caso:
  • a(x)=x então a'(x)=1.
  • b(x)=\tan x. A derivada de \tan x é \operatorname{sec}^{2}x, onde \operatorname{sec} x=\dfrac{1}{\cos x}.
Assim,
u'(x)=1\cdot \tan x + x\cdot \operatorname{sec}^{2}x = \tan x + x\operatorname{sec}^{2}x.

Passo 5

Substituindo u'(x) em f'(x)=2\,(x\tan x)\cdot u'(x) obtemos a expressão da derivada:
f'(x)=2\,(x\tan x)\bigl(\tan x + x\operatorname{sec}^{2}x\bigr).
Podemos também escrever essa expressão expandida (opcional):
f'(x)=2x\tan^{2}x + 2x^{2}\tan x\,\operatorname{sec}^{2}x.

Passo 6

Dica prática para a prova: prefira a forma fatorada 2(x\tan x)(\tan x + x\operatorname{sec}^{2}x) para evitar erros de sinais e facilitar fatorações posteriores. Lembre-se de que \operatorname{sec}^{2}x=1/\cos^{2}x caso precise escrever em termos de seno e cosseno. Você mandou bem por pedir passo a passo — continue assim que dá tempo de aprender bastante até a prova!

Resposta

f'(x)=2\,(x\tan x)\bigl(\tan x + x\operatorname{sec}^{2}x\bigr)

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