Calcule a derivada das funções trigonométricas abaixo usando a regra da cadeia.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a derivada da função
Informações dadas e o que é pedido:
- A função a derivar é
. - Quer-se
, a derivada em relação a .
Nada mais foi fornecido; vamos decompor a função para aplicar as regras de diferenciação passo a passo.
Passo 2
Ideia geral (fórmula que vamos usar): quando uma função é composta — ou seja, tem uma parte “externa” aplicada a uma “interna” — usamos a regra da cadeia.
Regra da cadeia (forma prática): se
então
Um caso simples e útil: para
vale
. Isso significa que, se
, então
Passo 3
Identificação das partes da composição para o nosso problema:
- Função externa:
. - Função interna:
.
Pelo ponto anterior,
Agora precisamos achar
.
Passo 4
Cálculo de
. Aqui
é produto de duas funções; usamos a regra do produto.
Regra do produto: se
então
No nosso caso:
-
então . -
. A derivada de é , onde .
Assim,
Passo 5
Substituindo
em
obtemos a expressão da derivada:
Podemos também escrever essa expressão expandida (opcional):
Passo 6
Dica prática para a prova: prefira a forma fatorada
para evitar erros de sinais e facilitar fatorações posteriores. Lembre-se de que
caso precise escrever em termos de seno e cosseno. Você mandou bem por pedir passo a passo — continue assim que dá tempo de aprender bastante até a prova!