Calcule a derivada das funções trigonométricas abaixo usando a regra da cadeia.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a derivada da função
Informações e observações dadas:
- A função é
. - A constante
é um parâmetro (considera-se constante em relação a ). - Domínio natural da função exige
e (para que o logaritmo natural esteja definido).
A pergunta é: calcular, a derivada de em função de .
Passo 2
Escolha do método: vou reescrever
como produto para usar a regra do produto junto com a regra da cadeia (é bem direto e mantém os passos claros):
Lembrete das regras que usarei:
- Regra do produto: se
então . - Regra da cadeia: se
então . - Derivada de
: . - Derivada de
: . - Regra da potência:
.
Passo 3
Calcular
e
.
Aplicando a regra da cadeia e a fórmula da derivada de :
Aplicando a regra da cadeia e a fórmula da derivada de
Agora derivar
usando a cadeia: seja
, então
. Aqui
. Assim
Substituindo em
:
Observação:
, então uma forma mais compacta é
Passo 4
Calcular
e
.
Aplicando a regra da potência com :
Aplicando a regra da potência com
Passo 5
Aplicar a regra do produto em
:
Substituindo as derivadas calculadas:
Escrevendo explicitamente e organizando os sinais:
Se quiser juntar em uma única fração, multiplica-se a primeira parcela por
:
Passo 6
Observações finais didáticas e dica de prova:
- O ponto crítico que costuma esquecer é o fator
vindo da regra da cadeia ao derivar . - Também é comum esquecer o sinal negativo da derivada de
; lembrar da regra da potência evita esse erro. - Ambas as formas apresentadas da derivada são equivalentes; escolha a que ficar mais limpa para você na hora da correção.