Calcule a derivada das funções trigonométricas abaixo usando a regra da cadeia.
f(x)=\frac{\ln (\operatorname{sen}(\alpha x))}{x}

Passo 1

O enunciado pede para calcular a derivada da função
f(x)=\frac{\ln(\operatorname{sen}(\alpha x))}{x}.
Informações e observações dadas:
  • A função é f(x)=\dfrac{\ln(\operatorname{sen}(\alpha x))}{x}.
  • A constante \alpha é um parâmetro (considera-se \alpha constante em relação a x).
  • Domínio natural da função exige x\neq 0 e \operatorname{sen}(\alpha x)>0 (para que o logaritmo natural esteja definido).
    A pergunta é: calcular f'(x), a derivada de f em função de x.

Passo 2

Escolha do método: vou reescrever f como produto para usar a regra do produto junto com a regra da cadeia (é bem direto e mantém os passos claros):
f(x)=\ln(\operatorname{sen}(\alpha x))\cdot x^{-1}.
Lembrete das regras que usarei:
  • Regra do produto: se g(x)=u(x)v(x) então g'(x)=u'(x)v(x)+u(x)v'(x).
  • Regra da cadeia: se h(x)=H(G(x)) então h'(x)=H'(G(x))\cdot G'(x).
  • Derivada de \ln(u): \dfrac{d}{dx}\ln(u)=\dfrac{u'}{u}.
  • Derivada de \operatorname{sen}(x): \dfrac{d}{dx}\operatorname{sen}(x)=\operatorname{cos}(x).
  • Regra da potência: \dfrac{d}{dx}x^{n}=n x^{n-1}.

Passo 3

Calcular u(x)=\ln(\operatorname{sen}(\alpha x)) e u'(x).
Aplicando a regra da cadeia e a fórmula da derivada de \ln:
u'(x)=\frac{d}{dx}\ln(\operatorname{sen}(\alpha x)) =\frac{\dfrac{d}{dx}\operatorname{sen}(\alpha x)}{\operatorname{sen}(\alpha x)}.
Agora derivar \operatorname{sen}(\alpha x) usando a cadeia: seja v(x)=\alpha x, então \dfrac{d}{dx}\operatorname{sen}(v)=\operatorname{cos}(v)\cdot v'. Aqui v'(x)=\alpha. Assim
\dfrac{d}{dx}\operatorname{sen}(\alpha x)=\operatorname{cos}(\alpha x)\cdot\alpha.
Substituindo em u'(x):
u'(x)=\frac{\alpha\,\operatorname{cos}(\alpha x)}{\operatorname{sen}(\alpha x)}.
Observação: \dfrac{\operatorname{cos}(\alpha x)}{\operatorname{sen}(\alpha x)}=\operatorname{cot}(\alpha x), então uma forma mais compacta é
u'(x)=\alpha\,\operatorname{cot}(\alpha x).

Passo 4

Calcular v(x)=x^{-1} e v'(x).
Aplicando a regra da potência com n=-1:
v'(x)=(-1)x^{-2}=-\dfrac{1}{x^{2}}.

Passo 5

Aplicar a regra do produto em f(x)=u(x)v(x):
f'(x)=u'(x)v(x)+u(x)v'(x).
Substituindo as derivadas calculadas:
f'(x)=\big(\alpha\,\operatorname{cot}(\alpha x)\big)\cdot x^{-1}+\ln(\operatorname{sen}(\alpha x))\cdot\big(-x^{-2}\big).
Escrevendo explicitamente e organizando os sinais:
f'(x)=\frac{\alpha\,\operatorname{cot}(\alpha x)}{x}-\frac{\ln(\operatorname{sen}(\alpha x))}{x^{2}}.
Se quiser juntar em uma única fração, multiplica-se a primeira parcela por \dfrac{x}{x}:
f'(x)=\frac{\alpha x\,\operatorname{cot}(\alpha x)-\ln(\operatorname{sen}(\alpha x))}{x^{2}}.

Passo 6

Observações finais didáticas e dica de prova:
  • O ponto crítico que costuma esquecer é o fator \alpha vindo da regra da cadeia ao derivar \operatorname{sen}(\alpha x).
  • Também é comum esquecer o sinal negativo da derivada de x^{-1}; lembrar da regra da potência evita esse erro.
  • Ambas as formas apresentadas da derivada são equivalentes; escolha a que ficar mais limpa para você na hora da correção.

Resposta

\displaystyle f'(x)=\frac{\alpha x\,\operatorname{cot}(\alpha x)-\ln(\operatorname{sen}(\alpha x))}{x^{2}}

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