Calcule a derivada das funções trigonométricas abaixo usando a regra da cadeia.
f(x)=2 \cos \left(x^{2}\right) \operatorname{sen}(2 x)

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x)=2\cos\bigl(x^{2}\bigr)\,\operatorname{sen}(2x)
e pede para calcular a derivada f'(x) usando a regra da cadeia.
Informações relevantes fornecidas:
  • A função é produto de duas funções: u(x)=2\cos\bigl(x^{2}\bigr) e v(x)=\operatorname{sen}(2x).
  • Não há mais informações (como valores numéricos); a tarefa é obter a expressão simbólica de f'(x).

Passo 2

Estratégia de resolução (apenas a estratégia, sem cálculos ainda). Para derivar f(x)=u(x)\,v(x) vou usar a regra do produto:
\bigl(u(x)v(x)\bigr)'=u'(x)v(x)+u(x)v'(x).
Para obter u'(x) e v'(x) vou usar a regra da cadeia sempre que a função interior não for simplesmente x. Agora vamos revisar e aplicar cada regra com calma.

Passo 3

Revisão didática das ferramentas que vamos usar.
  1. Regra do produto: se u e v são funções de x, então
\bigl(u(x)v(x)\bigr)'=u'(x)v(x)+u(x)v'(x).
Isto significa: derivar a primeira mantendo a segunda, somar com a primeira mantida vezes a derivada da segunda.
  1. Regra da cadeia: se h(x)=g\bigl(k(x)\bigr), então
h'(x)=g'\bigl(k(x)\bigr)\cdot k'(x).
Ou seja, deriva-se a função externa g avaliada na interna k(x) e multiplica-se pela derivada da função interna k'(x).
  1. Derivadas básicas das funções trigonométricas:
\frac{d}{dx}\bigl(\operatorname{sen}(x)\bigr)=\cos(x), \qquad \frac{d}{dx}\bigl(\cos(x)\bigr)=-\operatorname{sen}(x).
Se o argumento for uma função k(x), aplica-se a regra da cadeia: por exemplo,
\frac{d}{dx}\bigl(\cos(k(x))\bigr)=-\operatorname{sen}\bigl(k(x)\bigr)\cdot k'(x).

Passo 4

Derivar u(x)=2\cos\bigl(x^{2}\bigr).
  • Primeiro observo que há uma constante multiplicativa 2. Constantes saem da derivada: \dfrac{d}{dx}\bigl(2\cdot w(x)\bigr)=2\cdot w'(x).
  • Seja w(x)=\cos\bigl(x^{2}\bigr). Aplicando a regra da cadeia com g(t)=\cos(t) e k(x)=x^{2}, temos
w'(x)=\frac{d}{dx}\cos\bigl(x^{2}\bigr)=-\operatorname{sen}\bigl(x^{2}\bigr)\cdot\frac{d}{dx}\bigl(x^{2}\bigr).
  • A derivada de x^{2} é 2x. Então
w'(x)=-\operatorname{sen}\bigl(x^{2}\bigr)\cdot 2x=-2x\,\operatorname{sen}\bigl(x^{2}\bigr).
  • Voltando a u(x),
u'(x)=2\cdot w'(x)=2\cdot\bigl(-2x\,\operatorname{sen}\bigl(x^{2}\bigr)\bigr)=-4x\,\operatorname{sen}\bigl(x^{2}\bigr).

Passo 5

Derivar v(x)=\operatorname{sen}(2x).
  • Aqui também aplico a regra da cadeia com g(t)=\operatorname{sen}(t) e k(x)=2x. A derivada de \operatorname{sen}(t) é \cos(t).
  • A derivada de k(x)=2x é k'(x)=2.
  • Portanto
v'(x)=\cos(2x)\cdot 2=2\cos(2x).

Passo 6

Aplicar a regra do produto usando os resultados de u' e v'.
Temos
f'(x)=u'(x)v(x)+u(x)v'(x).
Substituindo u'(x)=-4x\,\operatorname{sen}\bigl(x^{2}\bigr), v(x)=\operatorname{sen}(2x), u(x)=2\cos\bigl(x^{2}\bigr) e v'(x)=2\cos(2x), obtemos
f'(x) = \bigl(-4x\,\operatorname{sen}\bigl(x^{2}\bigr)\bigr)\,\operatorname{sen}(2x) + 2\cos\bigl(x^{2}\bigr)\cdot\bigl(2\cos(2x)\bigr).

Passo 7

Simplificar a expressão final.
  • Multiplicando os termos:
f'(x) = -4x\,\operatorname{sen}\bigl(x^{2}\bigr)\operatorname{sen}(2x) + 4\cos\bigl(x^{2}\bigr)\cos(2x).
  • Podemos fatorar 4 se quisermos uma forma mais compacta:
f'(x)=4\Bigl(\cos\bigl(x^{2}\bigr)\cos(2x)-x\,\operatorname{sen}\bigl(x^{2}\bigr)\operatorname{sen}(2x)\Bigr).
Essa é a expressão final simplificada da derivada.

Resposta

f'(x)=-4x\,\operatorname{sen}\bigl(x^{2}\bigr)\operatorname{sen}(2x)+4\cos\bigl(x^{2}\bigr)\cos(2x)

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