Calcule a derivada das funções trigonométricas abaixo usando a regra da cadeia.
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede para calcular a derivada
usando a regra da cadeia.
Informações relevantes fornecidas:
Informações relevantes fornecidas:
- A função é produto de duas funções:
e . - Não há mais informações (como valores numéricos); a tarefa é obter a expressão simbólica de
.
Passo 2
Estratégia de resolução (apenas a estratégia, sem cálculos ainda). Para derivar
vou usar a regra do produto:
Para obter
e
vou usar a regra da cadeia sempre que a função interior não for simplesmente
. Agora vamos revisar e aplicar cada regra com calma.
Passo 3
Revisão didática das ferramentas que vamos usar.
- Regra do produto: se
e são funções de , então
Isto significa: derivar a primeira mantendo a segunda, somar com a primeira mantida vezes a derivada da segunda.
- Regra da cadeia: se
, então
Ou seja, deriva-se a função externa
avaliada na interna
e multiplica-se pela derivada da função interna
.
- Derivadas básicas das funções trigonométricas:
Se o argumento for uma função
, aplica-se a regra da cadeia: por exemplo,
Passo 4
Derivar
.
- Primeiro observo que há uma constante multiplicativa
. Constantes saem da derivada: . - Seja
. Aplicando a regra da cadeia com e , temos
- A derivada de
é . Então
- Voltando a
,
Passo 5
Derivar
.
- Aqui também aplico a regra da cadeia com
e . A derivada de é . - A derivada de
é . - Portanto
Passo 6
Aplicar a regra do produto usando os resultados de
e
.
Temos
Substituindo
,
,
e
, obtemos
Passo 7
Simplificar a expressão final.
- Multiplicando os termos:
- Podemos fatorar
se quisermos uma forma mais compacta:
Essa é a expressão final simplificada da derivada.