Calcule a derivada indicada.
D_{y}(\operatorname{cotg} y \operatorname{cosec} y)

Passo 1

O que o enunciado pede e o que nos dá:
  • Pede a derivada em relação de y da função dada.
  • A função que temos é \cot y \csc y.
  • Portanto, queremos calcular D_{y}\bigl(\cot y \csc y\bigr), ou seja, a derivada em relação de y de \cot y \csc y.
  • Observação importante para o domínio (útil na prova): os pontos onde \sin y=0 (ou seja y=k\pi, k\in\mathbb{Z}) são excluídos do domínio porque \csc y e \cot y não estão definidos ali.

Passo 2

Regra que vamos usar primeiro (produto): quando temos o produto de duas funções u(y) e v(y), a derivada é
\bigl(u v\bigr)' = u' v + u v'.
Aqui escolhemos u(y)=\cot y e v(y)=\csc y. Vou explicar o porquê dessa fórmula e o que cada termo significa: u' é a derivada de u em relação a y, v é a própria função v(y); e o segundo termo é análogo. Essa é a regra do produto: deriva-se uma função de cada vez mantendo a outra igual, e somam-se os dois resultados.

Passo 3

Precisamos das derivadas individuais \dfrac{d}{dy}\bigl(\cot y\bigr) e \dfrac{d}{dy}\bigl(\csc y\bigr). Vou calcular cada uma, passo a passo.
Cálculo de \dfrac{d}{dy}\bigl(\cot y\bigr):
  • Lembrando que \cot y=\dfrac{\cos y}{\sin y}. Usamos a regra do quociente: se w(y)=\dfrac{p(y)}{q(y)} então
w'=\frac{p' q - p q'}{q^2}.
  • Aqui p(y)=\cos y e q(y)=\sin y. Então p'(y)=-\sin y e q'(y)=\cos y.
  • Aplicando:
\frac{d}{dy}\bigl(\cot y\bigr) = \frac{(-\sin y)\cdot \sin y - (\cos y)\cdot \cos y}{\sin^2 y} = \frac{-\sin^2 y - \cos^2 y}{\sin^2 y}.
  • Usando a identidade trigonométrica \sin^2 y + \cos^2 y = 1, isso vira
\frac{d}{dy}\bigl(\cot y\bigr)=\frac{-1}{\sin^2 y} = -\csc^2 y.
Portanto
\boxed{\dfrac{d}{dy}\bigl(\cot y\bigr) = -\csc^2 y.}

Passo 4

Cálculo de \dfrac{d}{dy}\bigl(\csc y\bigr):
  • Note que \csc y = \dfrac{1}{\sin y}. Podemos usar a regra da derivada de uma função recíproca ou a regra da cadeia. Vou fazer direto com a regra do quociente simples: se r(y)=\dfrac{1}{\sin y} então
r' = \frac{0\cdot \sin y - 1\cdot (\cos y)}{\sin^2 y} = \frac{-\cos y}{\sin^2 y}.
  • Agora escrevemos isso em termos de \csc e \cot. Observe que \dfrac{\cos y}{\sin^2 y} = \dfrac{1}{\sin y}\cdot \dfrac{\cos y}{\sin y} = \csc y \cot y.
  • Portanto
\frac{d}{dy}\bigl(\csc y\bigr) = -\csc y \cot y.
Assim:
\boxed{\dfrac{d}{dy}\bigl(\csc y\bigr) = -\csc y \cot y.}

Passo 5

Agora aplicamos a regra do produto com u=\cot y e v=\csc y:
\frac{d}{dy}\bigl(\cot y \csc y\bigr) = (\cot y)'\csc y + \cot y (\csc y)'.
Substituindo as derivadas que achamos nos Passos 3 e 4:
(\cot y)' = -\csc^2 y,\qquad (\csc y)' = -\csc y \cot y,
temos
\frac{d}{dy}\bigl(\cot y \csc y\bigr) = (-\csc^2 y)\cdot \csc y + \cot y \cdot (-\csc y \cot y).
Agora multiplicamos os termos:
\frac{d}{dy}\bigl(\cot y \csc y\bigr) = -\csc^3 y - \cot^2 y \csc y.

Passo 6

Fazer uma simplificação agradável (fator comum). Extraindo -\csc y como fator comum:
-\csc^3 y - \cot^2 y \csc y = -\csc y\bigl(\csc^2 y + \cot^2 y\bigr).
Essa é uma forma compacta e correta. Podemos também reescrever usando a identidade \csc^2 y = 1 + \cot^2 y se quisermos outra forma:
\csc^2 y + \cot^2 y = 1 + 2\cot^2 y,
logo outra forma equivalente é
-\csc y\bigl(1 + 2\cot^2 y\bigr).
Ambas as formas estão corretas; vou deixar a forma fatorada com -\csc y(\csc^2 y + \cot^2 y) como resultado final por ser clara e direta.

Resposta

-\csc y\bigl(\csc^2 y + \cot^2 y\bigr)

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