Calcule a derivada indicada.
Passo 1
O que o enunciado pede e o que nos dá:
- Pede a derivada em relação de
da função dada. - A função que temos é
. - Portanto, queremos calcular
, ou seja, a derivada em relação de de . - Observação importante para o domínio (útil na prova): os pontos onde
(ou seja , ) são excluídos do domínio porque e não estão definidos ali.
Passo 2
Regra que vamos usar primeiro (produto): quando temos o produto de duas funções
e
, a derivada é
Aqui escolhemos
e
. Vou explicar o porquê dessa fórmula e o que cada termo significa:
é a derivada de
em relação a
,
é a própria função
; e o segundo termo é análogo. Essa é a regra do produto: deriva-se uma função de cada vez mantendo a outra igual, e somam-se os dois resultados.
Passo 3
Precisamos das derivadas individuais
e
. Vou calcular cada uma, passo a passo.
Cálculo de
:
- Lembrando que
. Usamos a regra do quociente: se então
- Aqui
e . Então e . - Aplicando:
- Usando a identidade trigonométrica
, isso vira
Portanto
Passo 4
Cálculo de
:
- Note que
. Podemos usar a regra da derivada de uma função recíproca ou a regra da cadeia. Vou fazer direto com a regra do quociente simples: se então
- Agora escrevemos isso em termos de
e . Observe que . - Portanto
Assim:
Passo 5
Agora aplicamos a regra do produto com
e
:
Substituindo as derivadas que achamos nos Passos 3 e 4:
temos
Agora multiplicamos os termos:
Passo 6
Fazer uma simplificação agradável (fator comum). Extraindo
como fator comum:
Essa é uma forma compacta e correta. Podemos também reescrever usando a identidade
se quisermos outra forma:
logo outra forma equivalente é
Ambas as formas estão corretas; vou deixar a forma fatorada com
como resultado final por ser clara e direta.