Determine as derivadas parciais de primeira ordem da função.
Passo 1
O enunciado dá a função
em termos de três variáveis independentes
,
e
:
O que é pedido: determinar as derivadas parciais de primeira ordem de
, ou seja calcular
,
e
.
Passo 2
Relembrando as regras que vou usar (explicadas de forma bem didática):
- Regra do produto (para derivadas parciais): se
então
e análogo para derivação em relação a
ou
. Aqui trata-se de derivar um produto, então aplicamos essa regra.
- Regra da cadeia (para exponencial): se
então
Importante: ao derivar parcialmente em relação a uma variável (por exemplo
), todas as outras (
) são tratadas como constantes.
Passo 3
Calcular
.
Aqui vemos
. Ao derivar em relação a
usamos produto com
e
.
-
porque não depende de . - Pela regra da cadeia,
E
(pois
e
são constantes ao derivar em
).
Aplicando produto:
Aplicando produto:
Passo 4
Calcular
.
Mesmo raciocínio que no passo anterior, agora diferenciando em relação a
.
-
. -
.
Portanto
Passo 5
Calcular
.
Agora ambas as partes do produto dependem de
, então aplicamos a regra do produto sem a derivada nula:
-
- Pela cadeia,
Aplicando produto:
É prático fatorar
:
Passo 6
Dica rápida para a prova: ao ver
lembre que duas coisas acontecem ao derivar:
- derivada em
ou : só o expoente importa (porque o fator é constante), por isso aparece multiplicando ; - derivada em
: aparece uma soma porque está no fator multiplicativo e também no expoente.
Força aí — você consegue! Se quiser, posso gerar exercícios parecidos para treinar.