Determine as derivadas parciais de primeira ordem da função.
w=z e^{x y z}

Passo 1

O enunciado dá a função w em termos de três variáveis independentes x, y e z:
w = z e^{x y z}.
O que é pedido: determinar as derivadas parciais de primeira ordem de w, ou seja calcular
\displaystyle \frac{\partial w}{\partial x}, \displaystyle \frac{\partial w}{\partial y} e \displaystyle \frac{\partial w}{\partial z}.

Passo 2

Relembrando as regras que vou usar (explicadas de forma bem didática):
  • Regra do produto (para derivadas parciais): se w(x,y,z)=u(x,y,z)\,v(x,y,z) então
\frac{\partial w}{\partial x} = \frac{\partial u}{\partial x}\,v + u\,\frac{\partial v}{\partial x},
e análogo para derivação em relação a y ou z. Aqui trata-se de derivar um produto, então aplicamos essa regra.
  • Regra da cadeia (para exponencial): se v(x,y,z)=e^{g(x,y,z)} então
\frac{\partial v}{\partial x}=e^{g(x,y,z)}\cdot\frac{\partial g}{\partial x}.
Importante: ao derivar parcialmente em relação a uma variável (por exemplo x), todas as outras ( y,z) são tratadas como constantes.

Passo 3

Calcular \displaystyle \frac{\partial w}{\partial x}.
Aqui vemos w=z\cdot e^{xyz}. Ao derivar em relação a x usamos produto com u(z)=z e v(x,y,z)=e^{xyz}.
  • \displaystyle \frac{\partial u}{\partial x}=0 porque u=z não depende de x.
  • Pela regra da cadeia,
\frac{\partial}{\partial x}e^{xyz}=e^{xyz}\cdot\frac{\partial}{\partial x}(xyz).
E \displaystyle \frac{\partial}{\partial x}(xyz)=y z (pois y e z são constantes ao derivar em x).
Aplicando produto:
\frac{\partial w}{\partial x} = 0\cdot e^{xyz} + z\cdot\big(e^{xyz}\cdot y z\big) = y z^2 e^{xyz}.

Passo 4

Calcular \displaystyle \frac{\partial w}{\partial y}.
Mesmo raciocínio que no passo anterior, agora diferenciando em relação a y.
  • \displaystyle \frac{\partial}{\partial y}z=0.
  • \displaystyle \frac{\partial}{\partial y}e^{xyz}=e^{xyz}\cdot\frac{\partial}{\partial y}(xyz)=e^{xyz}\cdot x z.
    Portanto
\frac{\partial w}{\partial y} = z\cdot\big(e^{xyz}\cdot x z\big) = x z^2 e^{xyz}.

Passo 5

Calcular \displaystyle \frac{\partial w}{\partial z}.
Agora ambas as partes do produto dependem de z, então aplicamos a regra do produto sem a derivada nula:
  • \displaystyle \frac{\partial}{\partial z}z = 1.
  • Pela cadeia, \displaystyle \frac{\partial}{\partial z}e^{xyz}=e^{xyz}\cdot\frac{\partial}{\partial z}(xyz)=e^{xyz}\cdot x y.
    Aplicando produto:
\frac{\partial w}{\partial z} = 1\cdot e^{xyz} + z\cdot\big(e^{xyz}\cdot x y\big) = e^{xyz} + x y z e^{xyz}.
É prático fatorar e^{xyz}:
\frac{\partial w}{\partial z}=(1+ x y z)\,e^{xyz}.

Passo 6

Dica rápida para a prova: ao ver z e^{xyz} lembre que duas coisas acontecem ao derivar:
  • derivada em x ou y: só o expoente importa (porque o fator z é constante), por isso aparece z^2 multiplicando e^{xyz};
  • derivada em z: aparece uma soma porque z está no fator multiplicativo e também no expoente.
Força aí — você consegue! Se quiser, posso gerar exercícios parecidos para treinar.

Resposta

\displaystyle \frac{\partial w}{\partial x}=y z^{2} e^{x y z}
\displaystyle \frac{\partial w}{\partial y}=x z^{2} e^{x y z}
\displaystyle \frac{\partial w}{\partial z}=(1+x y z)\,e^{x y z}

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