Use a Regra da Cadeia para achar \partial z / \partial s e \partial z / \partial t.
z=\operatorname{sen} \theta \cos \varphi, \quad \theta=s t^{2}, \quad \varphi=s^{2} t

Passo 1

O enunciado dá as seguintes funções e pede duas derivadas parciais:
  • z=\operatorname{sen}\theta\cos\varphi.
  • \theta=s t^{2}.
  • \varphi=s^{2}t.
O que se pede:
  • Calcular \dfrac{\partial z}{\partial s}.
  • Calcular \dfrac{\partial z}{\partial t}.

Passo 2

Primeiro passo prático: vamos calcular as derivadas parciais de z em relação às variáveis intermediárias \theta e \varphi, tratando a outra variável como constante em cada caso.
A função é produto de duas funções de ângulos: \operatorname{sen}\theta e \cos\varphi. Então:
  • Derivada parcial de z em relação a \theta (mantendo \varphi constante):
\frac{\partial z}{\partial \theta} = \frac{d}{d\theta}\big(\operatorname{sen}\theta\big)\cdot\cos\varphi = \cos\theta\cos\varphi.
Explicação: a derivada de \operatorname{sen}\theta em relação a \theta é \cos\theta; como \cos\varphi depende só de \varphi, é constante quando derivamos em relação a \theta.
  • Derivada parcial de z em relação a \varphi (mantendo \theta constante):
\frac{\partial z}{\partial \varphi} = \operatorname{sen}\theta\cdot\frac{d}{d\varphi}\big(\cos\varphi\big) = \operatorname{sen}\theta\cdot(-\sin\varphi) = -\operatorname{sen}\theta\sin\varphi.
Explicação: a derivada de \cos\varphi é -\sin\varphi; \operatorname{sen}\theta é constante neste diferencial.

Passo 3

Agora calculamos as derivadas parciais das funções intermediárias \theta(s,t) e \varphi(s,t).
Temos \theta=s t^{2}. Aplicando a regra do poder e lembrando que t é tratado como constante ao derivar em relação a s, e s é tratado como constante ao derivar em relação a t:
\frac{\partial \theta}{\partial s}=t^{2}, \qquad \frac{\partial \theta}{\partial t}=2st.
Explicação: \theta é s multiplicado por t^{2}. Derivando em s aparece t^{2}. Derivando em t usamos que d(t^{2})/dt=2t e s é constante, então \partial\theta/\partial t = s\cdot 2t = 2st.
Temos \varphi=s^{2}t. De modo análogo:
\frac{\partial \varphi}{\partial s}=2st, \qquad \frac{\partial \varphi}{\partial t}=s^{2}.
Explicação: ao derivar em s, t é constante e d(s^{2})/ds=2s; ao derivar em t, s^{2} é constante.

Passo 4

Agora aplicamos a Regra da Cadeia para funções compostas: se z=z(\theta,\varphi) com \theta=\theta(s,t) e \varphi=\varphi(s,t), então as derivadas parciais são
\frac{\partial z}{\partial s} = \frac{\partial z}{\partial \theta}\,\frac{\partial \theta}{\partial s} + \frac{\partial z}{\partial \varphi}\,\frac{\partial \varphi}{\partial s},
\frac{\partial z}{\partial t} = \frac{\partial z}{\partial \theta}\,\frac{\partial \theta}{\partial t} + \frac{\partial z}{\partial \varphi}\,\frac{\partial \varphi}{\partial t}.
Explicação do que cada termo significa: \partial z/\partial\theta mede como z muda quando \theta muda (com \varphi fixo); \partial\theta/\partial s mede como \theta muda quando s muda (com t fixo). A regra soma as contribuições via cada caminho intermediário.

Passo 5

Calcular \dfrac{\partial z}{\partial s} substituindo os termos que já achamos:
Usando
\dfrac{\partial z}{\partial \theta}=\cos\theta\cos\varphi,
\dfrac{\partial z}{\partial \varphi}=-\operatorname{sen}\theta\sin\varphi,
\dfrac{\partial \theta}{\partial s}=t^{2},
\dfrac{\partial \varphi}{\partial s}=2st,
obtemos
\frac{\partial z}{\partial s} = \big(\cos\theta\cos\varphi\big)\cdot t^{2} + \big(-\operatorname{sen}\theta\sin\varphi\big)\cdot (2st).
Agora simplificamos:
\frac{\partial z}{\partial s} = t^{2}\cos\theta\cos\varphi - 2st\,\operatorname{sen}\theta\sin\varphi.
Se quisermos escrever tudo em função de s e t, substituímos \theta=s t^{2} e \varphi=s^{2}t:
\frac{\partial z}{\partial s} = t^{2}\cos\big(st^{2}\big)\cos\big(s^{2}t\big) - 2st\,\operatorname{sen}\big(st^{2}\big)\sin\big(s^{2}t\big).

Passo 6

Calcular \dfrac{\partial z}{\partial t} do mesmo modo, usando
\dfrac{\partial \theta}{\partial t}=2st,
\dfrac{\partial \varphi}{\partial t}=s^{2}:
\frac{\partial z}{\partial t} = \big(\cos\theta\cos\varphi\big)\cdot(2st) + \big(-\operatorname{sen}\theta\sin\varphi\big)\cdot s^{2}.
Simplificando:
\frac{\partial z}{\partial t} = 2st\cos\theta\cos\varphi - s^{2}\operatorname{sen}\theta\sin\varphi.
Substituindo \theta=s t^{2} e \varphi=s^{2}t para escrever em s,t:
\frac{\partial z}{\partial t} = 2st\cos\big(st^{2}\big)\cos\big(s^{2}t\big) - s^{2}\operatorname{sen}\big(st^{2}\big)\sin\big(s^{2}t\big).

Resposta

\displaystyle \frac{\partial z}{\partial s}=t^{2}\cos\theta\cos\varphi-2st\,\operatorname{sen}\theta\sin\varphi
\displaystyle \frac{\partial z}{\partial t}=2st\cos\theta\cos\varphi-s^{2}\operatorname{sen}\theta\sin\varphi

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