Use a Regra da Cadeia para achar
e
.
Passo 1
O enunciado dá as seguintes funções e pede duas derivadas parciais:
-
. -
. -
.
O que se pede:
- Calcular
. - Calcular
.
Passo 2
Primeiro passo prático: vamos calcular as derivadas parciais de
em relação às variáveis intermediárias
e
, tratando a outra variável como constante em cada caso.
A função é produto de duas funções de ângulos:
e
. Então:
- Derivada parcial de
em relação a (mantendo constante):
Explicação: a derivada de
em relação a
é
; como
depende só de
, é constante quando derivamos em relação a
.
- Derivada parcial de
em relação a (mantendo constante):
Explicação: a derivada de
é
;
é constante neste diferencial.
Passo 3
Agora calculamos as derivadas parciais das funções intermediárias
e
.
Temos
. Aplicando a regra do poder e lembrando que
é tratado como constante ao derivar em relação a
, e
é tratado como constante ao derivar em relação a
:
Explicação:
é
multiplicado por
. Derivando em
aparece
. Derivando em
usamos que
e
é constante, então
.
Temos
. De modo análogo:
Explicação: ao derivar em
,
é constante e
; ao derivar em
,
é constante.
Passo 4
Agora aplicamos a Regra da Cadeia para funções compostas: se
com
e
, então as derivadas parciais são
Explicação do que cada termo significa:
mede como
muda quando
muda (com
fixo);
mede como
muda quando
muda (com
fixo). A regra soma as contribuições via cada caminho intermediário.
Passo 5
Calcular
substituindo os termos que já achamos:
Usando
,
,
,
,
obtemos
Agora simplificamos:
Se quisermos escrever tudo em função de
e
, substituímos
e
:
Passo 6
Calcular
do mesmo modo, usando
,
:
Simplificando:
Substituindo
e
para escrever em
: