Calcule derivada:
Passo 1
O que o enunciado pede: calcular a derivada da função
.
Informações dadas:
- A função é a composição de três funções seno: primeiro
entra em , o resultado entra em outra , e esse resultado entra numa terceira . - Precisa-se da derivada em relação a
.
Passo 2
Regra principal que vamos usar: a regra da cadeia. Vou explicar ela bem devagar e de um jeito que você consiga aplicar na prova.
- Se tiver uma composição de duas funções
, a derivada é
Isto significa: derivar a função externa (avaliada na função interna) e multiplicar pela derivada da função interna.
Exemplo rápido e simples (para fixar): se
e
, então
Também vamos usar a derivada conhecida da função seno:
(Trata-se de uma derivada básica: a derivada do seno é o cosseno.)
Passo 3
Para organizar a conta, vou nomear as camadas internas:
- Defina
.
Então
Passo 4
- Defina
.
Aplicando a regra da cadeia (derivar a externa e multiplicar pela derivada da interna): Substituindo e , obtemos
Passo 5
- Finalmente, a função que queremos derivar é
Aplicando novamente a regra da cadeia: Agora substitui-se e o valor de do Passo 4: Ou seja, o resultado é o produto dos três cossenos avaliados nas camadas correspondentes.
Dica prática para a prova: sempre desenhe mentalmente (ou no rascunho) as camadas internas e vá derivando de fora para dentro, multiplicando as derivadas à medida que desce. Aqui virou um produto de três fatores porque são três composições.