Calcule derivada:
\operatorname{sen}(\operatorname{sen}(\operatorname{sen} x))

Passo 1

O que o enunciado pede: calcular a derivada da função \operatorname{sen}(\operatorname{sen}(\operatorname{sen} x)).
Informações dadas:
  • A função é a composição de três funções seno: primeiro x entra em \operatorname{sen}, o resultado entra em outra \operatorname{sen}, e esse resultado entra numa terceira \operatorname{sen}.
  • Precisa-se da derivada em relação a x.

Passo 2

Regra principal que vamos usar: a regra da cadeia. Vou explicar ela bem devagar e de um jeito que você consiga aplicar na prova.
  • Se tiver uma composição de duas funções f(g(x)), a derivada é
\frac{d}{dx}f(g(x))=f'(g(x))\cdot g'(x).
Isto significa: derivar a função externa (avaliada na função interna) e multiplicar pela derivada da função interna.
Exemplo rápido e simples (para fixar): se f(t)=t^2 e g(x)=\operatorname{sen} x, então
\frac{d}{dx}f(g(x))=\frac{d}{dt}(t^2)\Big|_{t=g(x)}\cdot g'(x)=2g(x)\cdot g'(x)=2\operatorname{sen} x\cdot \operatorname{cos} x.
Também vamos usar a derivada conhecida da função seno:
\frac{d}{dx}\operatorname{sen} x = \operatorname{cos} x.
(Trata-se de uma derivada básica: a derivada do seno é o cosseno.)

Passo 3

Para organizar a conta, vou nomear as camadas internas:
  • Defina u(x)=\operatorname{sen} x.
    Então u'(x)=\operatorname{cos} x.

Passo 4

  • Defina v(x)=\operatorname{sen}(u(x))=\operatorname{sen}(\operatorname{sen} x).
    Aplicando a regra da cadeia (derivar a externa e multiplicar pela derivada da interna): v'(x)=\operatorname{cos}(u(x))\cdot u'(x).Substituindo u(x)=\operatorname{sen} x e u'(x)=\operatorname{cos} x, obtemos v'(x)=\operatorname{cos}(\operatorname{sen} x)\cdot \operatorname{cos} x.

Passo 5

  • Finalmente, a função que queremos derivar é w(x)=\operatorname{sen}(v(x))=\operatorname{sen}(\operatorname{sen}(\operatorname{sen} x)).Aplicando novamente a regra da cadeia: w'(x)=\operatorname{cos}(v(x))\cdot v'(x).Agora substitui-se v(x)=\operatorname{sen}(\operatorname{sen} x) e o valor de v'(x) do Passo 4: w'(x)=\operatorname{cos}(\operatorname{sen}(\operatorname{sen} x))\cdot\bigl(\operatorname{cos}(\operatorname{sen} x)\cdot \operatorname{cos} x\bigr).Ou seja, o resultado é o produto dos três cossenos avaliados nas camadas correspondentes.
Dica prática para a prova: sempre desenhe mentalmente (ou no rascunho) as camadas internas e vá derivando de fora para dentro, multiplicando as derivadas à medida que desce. Aqui virou um produto de três fatores porque são três composições.

Resposta

\operatorname{cos}(\operatorname{sen}(\operatorname{sen} x))\cdot \operatorname{cos}(\operatorname{sen} x)\cdot \operatorname{cos} x

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