Questão 2: Resolva as EDO’s pelo método do fator integrante generalizado:
\ddot{x}-\left(c_{2}+c_{3}+1\right) \dot{x}+c_{2}\left(c_{3}+1\right)^{2} x=t.

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial ordinária
\ddot{x}-\left(c_{2}+c_{3}+1\right)\dot{x}+c_{2}\left(c_{3}+1\right)^{2}x=t,
onde c_{2} e c_{3} são constantes (presume‑se reais). A incógnita é x(t).
Informações relevantes:
  • É uma EDO linear de segunda ordem, com coeficientes constantes, não homogênea (termo forçante igual a t).
  • O enunciado pede para usar o método do fator integrante generalizado (vamos aplicar uma construção que reduz a EDO a uma derivada total após multiplicar por um fator adequado).

Passo 2

Ideia do método do fator integrante generalizado (explicação didática e motivação):
  • Para uma EDO linear de segunda ordem com coeficientes constantes, uma técnica útil é procurar um fator multiplicativo \mu(t) e uma constante a tais que a combinação à esquerda se torne a derivada de \mu(t) multiplicada por uma combinação linear de \dot{x} e x. Em símbolos queremos
\mu(t)\Big(\ddot{x}-S\dot{x}+P x\Big)=\frac{d}{dt}\big(\mu(t)\,(\dot{x}+a x)\big),
com S=c_{2}+c_{3}+1 e P=c_{2}(c_{3}+1)^{2}.
  • Se conseguirmos isso, integremos para reduzir a ordem: a igualdade acima dá uma equação de primeira ordem para x após integrar uma vez. Vou mostrar como escolher a e \mu.

Passo 3

Encontrando a e \mu. Desenvolvendo a derivada do lado direito:
\frac{d}{dt}\big(\mu(\dot{x}+a x)\big)=\mu\ddot{x}+(\mu'+a\mu)\dot{x}+a\mu' x.
Comparando com \mu(\ddot{x}-S\dot{x}+P x) obtemos as condições
\mu'+a\mu=-S\mu,\qquad a\mu' = P\mu.
Da primeira equação segue \dfrac{\mu'}{\mu}=-S-a, ou seja \mu(t)=e^{(-S-a)t} (assumindo S+a constante – aqui é constante). Substituindo \mu'=( -S-a)\mu na segunda condição dá
a(-S-a)=P,
ou seja
a^{2}+S a+P=0.
Portanto a deve ser uma raiz dessa quadrática. Denotando as raízes por a_{1} e a_{2}, tem‑se
a_{1,2}=\frac{-S\pm\sqrt{S^{2}-4P}}{2}.
Observe a conexão com a equação característica usual da EDO homogênea: se a equação homogênea tem raízes r_{1},r_{2} então a_{i}=-r_{i}. Isso aparecerá naturalmente abaixo.

Passo 4

Escolha de uma raiz e integração da primeira redução (caso genérico a_{1}\neq a_{2}, a_{i}\neq0). Seja a=a_{1} e então, como mostrado, a escolha de \mu é
\mu(t)=e^{(-S-a_{1})t}=e^{a_{2}t},
porque a_{2}=-S-a_{1} (soma das raízes a_{1}+a_{2}=-S). Multiplicando a EDO original por \mu obtemos a forma exata
\frac{d}{dt}\big(\mu(\dot{x}+a_{1}x)\big)=\mu\,t.
Integrando uma vez em t:
\mu(\dot{x}+a_{1}x)=\int \mu(t)\,t\,dt + C_{1}.
Como \mu(t)=e^{a_{2}t} e a_{2} é constante, usamos a integral conhecida
\int t e^{a_{2}t}\,dt=e^{a_{2}t}\Big(\frac{t}{a_{2}}-\frac{1}{a_{2}^{2}}\Big)\qquad\text{(se }a_{2}\neq0\text{)}.
Assim
e^{a_{2}t}(\dot{x}+a_{1}x)=e^{a_{2}t}\Big(\frac{t}{a_{2}}-\frac{1}{a_{2}^{2}}\Big)+C_{1},
e dividindo por e^{a_{2}t} obtemos a equação de primeira ordem
\dot{x}+a_{1}x=\frac{t}{a_{2}}-\frac{1}{a_{2}^{2}}+C_{1}e^{-a_{2}t}.

Passo 5

Resolver a primeira ordem e escrever a solução geral (continuação). A equação
\dot{x}+a_{1}x=f(t),\qquad f(t)=\frac{t}{a_{2}}-\frac{1}{a_{2}^{2}}+C_{1}e^{-a_{2}t},
é linear de primeira ordem. O fator integrante é e^{a_{1}t}. Multiplicando e integrando:
\frac{d}{dt}\big(e^{a_{1}t}x\big)=e^{a_{1}t}f(t).
Integramos termo a termo. Para os termos polinomiais em t usa‑se
\int e^{a_{1}t}t\,dt=e^{a_{1}t}\Big(\frac{t}{a_{1}}-\frac{1}{a_{1}^{2}}\Big),
e para o exponencial misto
\int e^{a_{1}t}e^{-a_{2}t}\,dt=\int e^{(a_{1}-a_{2})t}\,dt=\frac{e^{(a_{1}-a_{2})t}}{a_{1}-a_{2}}\quad(\text{se }a_{1}\neq a_{2}).
Fazendo as contas (é um pó de álgebra; mostro a forma final simplificada abaixo) obtém‑se a solução geral
x(t)=\frac{t}{a_{1}a_{2}}-\left(\frac{1}{a_{1}^{2}a_{2}}+\frac{1}{a_{1}a_{2}^{2}}\right)+C_{A}e^{-a_{1}t}+C_{B}e^{-a_{2}t},
onde C_{A},C_{B} são constantes arbitrárias (combinações lineares das constantes de integração intermediárias). Esta expressão contém a solução particular (os termos racionais em t) e a solução homogênea (os exponenciais).

Passo 6

Simplificação em termos dos coeficientes originais (expressão mais elegante). Lembrando que a_{1}a_{2}=P=c_{2}(c_{3}+1)^{2} e a_{1}+a_{2}=-S=-(c_{2}+c_{3}+1), podemos simplificar o termo constante da solução particular:
\frac{1}{a_{1}^{2}a_{2}}+\frac{1}{a_{1}a_{2}^{2}}=\frac{a_{1}+a_{2}}{a_{1}^{2}a_{2}^{2}}=\frac{-S}{P^{2}}.
Logo a solução particular fica
x_{p}(t)=\frac{t}{P}+\frac{S}{P^{2}},
ou seja
x_{p}(t)=\frac{t}{c_{2}(c_{3}+1)^{2}}+\frac{c_{2}+c_{3}+1}{\big(c_{2}(c_{3}+1)^{2}\big)^{2}}.
Portanto a solução geral pode ser escrita de forma compacta usando as raízes r_{1},r_{2} da equação característica da homogênea
r^{2}-S r+P=0,\qquad r_{1,2}=\frac{S\pm\sqrt{S^{2}-4P}}{2},
como
x(t)=\frac{t}{P}+\frac{S}{P^{2}}+C_{1}e^{r_{1}t}+C_{2}e^{r_{2}t},
com S=c_{2}+c_{3}+1, P=c_{2}(c_{3}+1)^{2} e C_{1},C_{2} constantes arbitrárias.

Passo 7

Casos degenerados (atenção rápida):
  • Se a_{1}=a_{2} (i.e. S^{2}-4P=0, caso de raízes duplas), a solução homogênea é (C_{1}+C_{2}t)e^{r t} e a solução particular acima continua válida (ou adapta‑se com o método padrão para caso de raízes duplas).
  • Se algum dos denominadores usados acima for zero (por exemplo a_{2}=0), integrais devem ser tratadas separadamente (o método dá integrais simples com t e potências), mas o resultado final para a solução particular pode ser obtido mais direto por tentativa polinomial: como o forçante é t, tomar x_{p}=At+B e determinar A,B funciona em todos os casos regulares; isso produz exatamente A=1/P e B=S/P^{2} desde que P\neq0. Se P=0 (parâmetros degenerados), a equação precisa de tratamento à parte.

Resposta

x(t)=\frac{t}{c_{2}(c_{3}+1)^{2}}+\frac{c_{2}+c_{3}+1}{\big(c_{2}(c_{3}+1)^{2}\big)^{2}}+C_{1}e^{r_{1}t}+C_{2}e^{r_{2}t},
onde
r_{1,2}=\frac{c_{2}+c_{3}+1\pm\sqrt{(c_{2}+c_{3}+1)^{2}-4c_{2}(c_{3}+1)^{2}}}{2},
e C_{1},C_{2} são constantes arbitrárias.

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