Questão 2: Resolva as EDO’s pelo método do fator integrante generalizado:
.
Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação diferencial ordinária
onde
e
são constantes (presume‑se reais). A incógnita é
.
Informações relevantes:
Informações relevantes:
- É uma EDO linear de segunda ordem, com coeficientes constantes, não homogênea (termo forçante igual a
). - O enunciado pede para usar o método do fator integrante generalizado (vamos aplicar uma construção que reduz a EDO a uma derivada total após multiplicar por um fator adequado).
Passo 2
Ideia do método do fator integrante generalizado (explicação didática e motivação):
- Para uma EDO linear de segunda ordem com coeficientes constantes, uma técnica útil é procurar um fator multiplicativo
e uma constante tais que a combinação à esquerda se torne a derivada de multiplicada por uma combinação linear de e . Em símbolos queremos
com
e
.
- Se conseguirmos isso, integremos para reduzir a ordem: a igualdade acima dá uma equação de primeira ordem para
após integrar uma vez. Vou mostrar como escolher e .
Passo 3
Encontrando
e
. Desenvolvendo a derivada do lado direito:
Comparando com
obtemos as condições
Da primeira equação segue
, ou seja
(assumindo
constante – aqui é constante). Substituindo
na segunda condição dá
ou seja
Portanto
deve ser uma raiz dessa quadrática. Denotando as raízes por
e
, tem‑se
Observe a conexão com a equação característica usual da EDO homogênea: se a equação homogênea tem raízes
então
. Isso aparecerá naturalmente abaixo.
Passo 4
Escolha de uma raiz e integração da primeira redução (caso genérico
,
). Seja
e então, como mostrado, a escolha de
é
porque
(soma das raízes
). Multiplicando a EDO original por
obtemos a forma exata
Integrando uma vez em
:
Como
e
é constante, usamos a integral conhecida
Assim
e dividindo por
obtemos a equação de primeira ordem
Passo 5
Resolver a primeira ordem e escrever a solução geral (continuação). A equação
é linear de primeira ordem. O fator integrante é
. Multiplicando e integrando:
Integramos termo a termo. Para os termos polinomiais em
usa‑se
e para o exponencial misto
Fazendo as contas (é um pó de álgebra; mostro a forma final simplificada abaixo) obtém‑se a solução geral
onde
são constantes arbitrárias (combinações lineares das constantes de integração intermediárias). Esta expressão contém a solução particular (os termos racionais em
) e a solução homogênea (os exponenciais).
Passo 6
Simplificação em termos dos coeficientes originais (expressão mais elegante). Lembrando que
e
, podemos simplificar o termo constante da solução particular:
Logo a solução particular fica
ou seja
Portanto a solução geral pode ser escrita de forma compacta usando as raízes
da equação característica da homogênea
como
com
,
e
constantes arbitrárias.
Passo 7
Casos degenerados (atenção rápida):
- Se
(i.e. , caso de raízes duplas), a solução homogênea é e a solução particular acima continua válida (ou adapta‑se com o método padrão para caso de raízes duplas). - Se algum dos denominadores usados acima for zero (por exemplo
), integrais devem ser tratadas separadamente (o método dá integrais simples com e potências), mas o resultado final para a solução particular pode ser obtido mais direto por tentativa polinomial: como o forçante é , tomar e determinar funciona em todos os casos regulares; isso produz exatamente e desde que . Se (parâmetros degenerados), a equação precisa de tratamento à parte.
Resposta
onde
e
são constantes arbitrárias.