Calcule derivada:
\operatorname{tg}(\operatorname{sen} x)

Passo 1

O enunciado pede: calcular a derivada da função \operatorname{tg}(\operatorname{sen} x).
Informação dada: a função é a composição da tangente com o seno, isto é, a função x \mapsto \operatorname{tg}(\operatorname{sen} x).
O que se quer encontrar: a expressão da derivada em função de x.

Passo 2

Estratégia (em palavras simples): quando temos uma função composta f(x)=g(h(x)), usamos a regra da cadeia, que diz que a derivada de f é a derivada de g avaliada em h(x) multiplicada pela derivada de h(x). Vou explicar essa regra direitinho e aplicar aqui.
Regra da cadeia (fórmula e significado): se
f(x)=g(h(x)),
então
f'(x)=g'\big(h(x)\big)\cdot h'(x).
Explicando: g' é a derivada da função externa g em relação ao seu argumento; h'(x) é a derivada da função interna h em relação a x. Multiplica-se porque uma mudança pequena em x causa uma mudança em h(x) e essa mudança é transformada por g.
Exemplo curto para fixar: se f(x)=\sin(x^2), então g(u)=\sin u e h(x)=x^2. Assim
f'(x)=\cos(h(x))\cdot 2x = 2x\cos(x^2).

Passo 3

Identificação das funções externa e interna no problema:
  • Função externa g(u)=\operatorname{tg}(u).
  • Função interna h(x)=\operatorname{sen} x.
    Vou precisar de g'(u) e de h'(x).

Passo 4

Derivada da função interna h(x)=\operatorname{sen} x: por um fato básico de trigonometria diferencial,
\frac{d}{dx}\operatorname{sen} x = \cos x.
Explicação rápida e intuitiva: a derivada do seno é o cosseno — isto é padrão e pode ser obtido pelo limite definidor da derivada, mas aqui basta lembrar essa regra e saber aplicá-la.

Passo 5

Derivada da função externa g(u)=\operatorname{tg} u: uma forma prática de obter g'(u) é escrever \operatorname{tg} u=\dfrac{\sin u}{\cos u} e aplicar a regra do quociente. Faço isso passo a passo.
Usando a regra do quociente:
\frac{d}{du}\left(\frac{\sin u}{\cos u}\right) = \frac{\cos u\cdot\cos u - \sin u\cdot(-\sin u)}{\cos^2 u}.
O numerador fica
\cos^2 u + \sin^2 u = 1,
pelo identidade pitagórica. Logo
\frac{d}{du}\operatorname{tg} u = \frac{1}{\cos^2 u}.
Outra forma de escrever isso (útil e comum) é
\frac{d}{du}\operatorname{tg} u = \operatorname{sec}^2 u,
onde \operatorname{sec} u=\dfrac{1}{\cos u}. Mas vou manter a forma em cosseno para ficar explícito:
g'(u)=\frac{1}{\cos^2 u}.

Passo 6

Aplicando a regra da cadeia: com g'(u)=\dfrac{1}{\cos^2 u} e h'(x)=\cos x, temos
\frac{d}{dx}\operatorname{tg}(\operatorname{sen} x) = g'\big(h(x)\big)\cdot h'(x) = \frac{1}{\cos^2\big(h(x)\big)}\cdot \cos x.
Substituindo h(x)=\operatorname{sen} x,
\frac{d}{dx}\operatorname{tg}(\operatorname{sen} x) = \frac{\cos x}{\cos^2\big(\operatorname{sen} x\big)}.

Passo 7

Observações finais e formas equivalentes: a resposta acima pode ser escrita também como
\operatorname{sec}^2\big(\operatorname{sen} x\big)\cdot\cos x
ou, se preferir notação com \sin,
\frac{\cos x}{\cos^2(\sin x)}.
Todas são equivalentes; escolhi \dfrac{\cos x}{\cos^2(\operatorname{sen} x)} porque mostra claramente a derivada da parte interna ( \cos x) multiplicando a derivada da parte externa avaliada na parte interna.

Resposta

\frac{d}{dx}\operatorname{tg}(\operatorname{sen} x)=\frac{\cos x}{\cos^{2}\big(\operatorname{sen} x\big)}

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