Calcule derivada:
Passo 1
O enunciado pede: calcular a derivada da função
.
Informação dada: a função é a composição da tangente com o seno, isto é, a função .
O que se quer encontrar: a expressão da derivada em função de .
Informação dada: a função é a composição da tangente com o seno, isto é, a função
O que se quer encontrar: a expressão da derivada em função de
Passo 2
Estratégia (em palavras simples): quando temos uma função composta
, usamos a regra da cadeia, que diz que a derivada de
é a derivada de
avaliada em
multiplicada pela derivada de
. Vou explicar essa regra direitinho e aplicar aqui.
Regra da cadeia (fórmula e significado): se
então
Explicando:
é a derivada da função externa
em relação ao seu argumento;
é a derivada da função interna
em relação a
. Multiplica-se porque uma mudança pequena em
causa uma mudança em
e essa mudança é transformada por
.
Exemplo curto para fixar: se
, então
e
. Assim
Passo 3
Identificação das funções externa e interna no problema:
- Função externa
. - Função interna
.
Vou precisar dee de .
Passo 4
Derivada da função interna
: por um fato básico de trigonometria diferencial,
Explicação rápida e intuitiva: a derivada do seno é o cosseno — isto é padrão e pode ser obtido pelo limite definidor da derivada, mas aqui basta lembrar essa regra e saber aplicá-la.
Passo 5
Derivada da função externa
: uma forma prática de obter
é escrever
e aplicar a regra do quociente. Faço isso passo a passo.
Usando a regra do quociente:
O numerador fica
pelo identidade pitagórica. Logo
Outra forma de escrever isso (útil e comum) é
onde
. Mas vou manter a forma em cosseno para ficar explícito:
Passo 6
Aplicando a regra da cadeia: com
e
, temos
Substituindo
,
Passo 7
Observações finais e formas equivalentes: a resposta acima pode ser escrita também como
ou, se preferir notação com
,
Todas são equivalentes; escolhi
porque mostra claramente a derivada da parte interna (
) multiplicando a derivada da parte externa avaliada na parte interna.