Calcule derivada:
\frac{\operatorname{sen} x}{x^{2}}\

Passo 1

O enunciado pede a derivada da função
f(x)=\frac{\operatorname{sen} x}{x^{2}}.
Informações dadas:
  • A função é a razão entre a função trigonométrica \operatorname{sen} x e a potência x^{2}.
    O que se pede:
  • Calcular f'(x)=\dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\!\left(\dfrac{\operatorname{sen} x}{x^{2}}\right).

Passo 2

Escolha do método: é mais prático reescrever a razão como produto usando potências:
f(x)=\operatorname{sen} x\cdot x^{-2}.
Motivo: assim usamos a regra do produto (mais direta aqui) e a regra da potência para x^{-2}. Alternativa seria aplicar a regra do quociente; ambas dão o mesmo resultado, mas o produto com x^{-2} costuma ser menos trabalhoso na prova.

Passo 3

Relembrando as regras que vamos usar (explicadinhas):
  • Regra do produto: se u(x) e v(x) são diferenciáveis então
(u\cdot v)'=u'v+uv'.
Aqui u(x)=\operatorname{sen} x e v(x)=x^{-2}. A regra diz que derivamos uma fator por vez e somamos os produtos.
  • Derivada da função seno: para u(x)=\operatorname{sen} x,
u'(x)=\cos x.
Isto é padrão: a derivada do seno é o cosseno.
  • Regra da potência (para potências de x): se v(x)=x^{n} com n constante, então
v'(x)=n x^{n-1}.
Aplicando com n=-2 teremos v'(x)=-2x^{-3}.
Estas fórmulas são básicas e fáceis de aplicar numa prova: memorizá-las ajuda muito.

Passo 4

Aplicando tudo passo a passo:
Defina u(x)=\operatorname{sen} x e v(x)=x^{-2}.
Então
u'(x)=\cos x, \qquad v'(x)=-2x^{-3}.
Pela regra do produto,
f'(x)=u'(x)v(x)+u(x)v'(x).
Substituindo,
f'(x)=\cos x\cdot x^{-2}+\operatorname{sen} x\cdot(-2x^{-3}).
Organizando os termos,
f'(x)=x^{-2}\cos x-2x^{-3}\operatorname{sen} x.

Passo 5

Fatorando x^{-3} para uma forma mais compacta (útil na prova):
f'(x)=x^{-3}\bigl(x\cos x-2\operatorname{sen} x\bigr).
Outra forma equivalente, escrevendo com fração, é
f'(x)=\frac{x\cos x-2\operatorname{sen} x}{x^{3}}.
Ambas as formas são corretas; escolha a que achar mais clara na hora da prova.

Resposta

\displaystyle \frac{x\cos x-2\operatorname{sen} x}{x^{3}}

Exercícios relacionados