Calcule derivada:
Passo 1
O enunciado pede a derivada da função
Informações dadas:
- A função é a razão entre a função trigonométrica
e a potência .
O que se pede: - Calcular
.
Passo 2
Escolha do método: é mais prático reescrever a razão como produto usando potências:
Motivo: assim usamos a regra do produto (mais direta aqui) e a regra da potência para
. Alternativa seria aplicar a regra do quociente; ambas dão o mesmo resultado, mas o produto com
costuma ser menos trabalhoso na prova.
Passo 3
Relembrando as regras que vamos usar (explicadinhas):
- Regra do produto: se
e são diferenciáveis então
Aqui
e
. A regra diz que derivamos uma fator por vez e somamos os produtos.
- Derivada da função seno: para
,
Isto é padrão: a derivada do seno é o cosseno.
- Regra da potência (para potências de
): se com constante, então
Aplicando com
teremos
.
Estas fórmulas são básicas e fáceis de aplicar numa prova: memorizá-las ajuda muito.
Estas fórmulas são básicas e fáceis de aplicar numa prova: memorizá-las ajuda muito.
Passo 4
Aplicando tudo passo a passo:
Defina e
.
Então
Defina
Então
Pela regra do produto,
Substituindo,
Organizando os termos,
Passo 5
Fatorando
para uma forma mais compacta (útil na prova):
Outra forma equivalente, escrevendo com fração, é
Ambas as formas são corretas; escolha a que achar mais clara na hora da prova.