Calcule derivada:
\left(1-x^{2}\right)^{10}

Passo 1

O que o enunciado pede: calcular a derivada da função \left(1-x^{2}\right)^{10} em relação a x. Informação dada: a função é \left(1-x^{2}\right)^{10} e a variável independente é x. A resolução começará a seguir.

Passo 2

Que regra vamos usar (explicação didática): a função é uma composição de duas funções — uma função exterior que eleva ao expoente 10 e uma função interior que é 1-x^{2}. Para derivar composições usa-se a regra da cadeia.
Breve aula sobre as regras úteis:
  • Regra da potência (para uma variável): se y=x^{n} então \dfrac{dy}{dx}=n x^{n-1}. Aqui n é um número real e x é a variável.
  • Regra da cadeia: se f(x)=g(h(x)) então
f'(x)=g'\big(h(x)\big)\cdot h'(x).
Isto significa: derivar a função exterior em relação à sua entrada (avaliada na entrada h(x)) e multiplicar pela derivada da entrada h(x).

Passo 3

Identificação explícita das funções interior e exterior:
  • Função interior: u(x)=1-x^{2}.
  • Função exterior (em termos de u): v(u)=u^{10}.
    A função original é f(x)=v(u(x))= \big(u(x)\big)^{10}.

Passo 4

Derivar a função exterior em relação a u (usando a regra da potência):
\frac{dv}{du} = 10\,u^{9}.
Explicação: apliquei a regra da potência com n=10; a derivada de u^{10} em relação a u é 10u^{9}.

Passo 5

Derivar a função interior u(x)=1-x^{2} em relação a x:
\frac{du}{dx} = 0 - 2x = -2x.
Explicação: a derivada de uma constante 1 é 0 e a derivada de x^{2} é 2x; como vem com sinal negativo, fica -2x.

Passo 6

Aplicar a regra da cadeia:
\frac{d}{dx}\big(1-x^{2}\big)^{10} = \frac{dv}{du}\bigg|_{u=1-x^{2}}\cdot\frac{du}{dx}.
Substituindo os resultados dos passos anteriores:
\frac{d}{dx}\big(1-x^{2}\big)^{10} = 10\big(1-x^{2}\big)^{9}\cdot(-2x).

Passo 7

Simplificar o resultado multiplicando constantes:
10\cdot(-2x) = -20x,
portanto
\frac{d}{dx}\big(1-x^{2}\big)^{10} = -20x\big(1-x^{2}\big)^{9}.

Passo 8

Exemplo rápido para reforçar (sem exigir cálculo extra): se fosse \big(1-x^{2}\big)^{2}, seguindo o mesmo procedimento obteríamos -4x(1-x^{2}). Isso ajuda a ver a mesma estrutura: o expoente cai multiplicando e a derivada do interior aparece como fator.

Passo 9

Comentário final e incentivo: a técnica foi aplicar a regra da cadeia juntando a regra da potência e a derivada da função polinomial interior. É um padrão que vale para qualquer \big(g(x)\big)^{n}: a derivada é n\big(g(x)\big)^{n-1}g'(x). Vai dar certo na prova — respira fundo e repete umas vezes esse padrão.

Resposta

-20x\big(1-x^{2}\big)^{9}

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