Calcule a derivada parcial de primeira ordem:
f(\theta, \Phi)=\operatorname{sen} 3 \Phi \cdot \cos 2 \theta

Passo 1

O enunciado pede as derivadas parciais de primeira ordem da função
f(\theta,\Phi)=\sin(3\Phi)\,\cos(2\theta).
Vamos usar a definição de derivada parcial: ao derivar em relação a uma variável tratamos a outra como constante, aplicando também a regra da cadeia quando houver composição de funções.

Passo 2

Cálculo de \displaystyle \frac{\partial f}{\partial \theta}.
Tratamos \Phi como constante e derivamos \cos(2\theta). Como
\frac{d}{d\theta}\bigl[\cos(2\theta)\bigr] =-\sin(2\theta)\cdot\frac{d}{d\theta}(2\theta) =-2\sin(2\theta),
multiplicamos por \sin(3\Phi) (constante no processo), obtendo
\frac{\partial f}{\partial \theta} =\sin(3\Phi)\,\bigl(-2\sin(2\theta)\bigr) =-2\,\sin(3\Phi)\,\sin(2\theta).

Passo 3

Cálculo de \displaystyle \frac{\partial f}{\partial \Phi}.
Tratamos \theta como constante e derivamos \sin(3\Phi). Pela regra da cadeia,
\frac{d}{d\Phi}\bigl[\sin(3\Phi)\bigr] =\cos(3\Phi)\cdot\frac{d}{d\Phi}(3\Phi) =3\cos(3\Phi).
Multiplicamos por \cos(2\theta) (constante nesta derivação), e ficamos com
\frac{\partial f}{\partial \Phi} =\cos(2\theta)\,\bigl(3\cos(3\Phi)\bigr) =3\,\cos(2\theta)\,\cos(3\Phi).

Resposta

\frac{\partial f}{\partial \theta} = -2\,\sin(3\Phi)\,\sin(2\theta), \quad \frac{\partial f}{\partial \Phi} = 3\,\cos(2\theta)\,\cos(3\Phi).

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