Calcule a derivada parcial de primeira ordem:
z=e^{\frac{y}{x}} \ln \left(\frac{x^{2}}{y}\right)

Passo 1

O enunciado nos dá a função
z = e^{\frac{y}{x}} \,\ln\!\Bigl(\tfrac{x^{2}}{y}\Bigr)
e pede as derivadas parciais de primeira ordem \frac{\partial z}{\partial x} e \frac{\partial z}{\partial y}. Para isso, vamos usar a regra do produto e a regra da cadeia.

Passo 2

Definimos
f(x,y) = e^{\frac{y}{x}}, \qquad g(x,y) = \ln\!\Bigl(\tfrac{x^{2}}{y}\Bigr),
de modo que z = f\,g. Calcularemos \partial_{x}f, \partial_{x}g, \partial_{y}f e \partial_{y}g.

Passo 3

Para f(x,y)=e^{u} com u=\tfrac{y}{x}, temos
\frac{\partial u}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x}\Bigl(\tfrac{y}{x}\Bigr) = -\frac{y}{x^{2}},
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\frac{\partial f}{\partial x} = f \cdot \frac{\partial u}{\partial x} = e^{\frac{y}{x}}\Bigl(-\frac{y}{x^{2}}\Bigr).

Passo 4

Para g(x,y)=\ln\!\bigl(x^{2}/y\bigr) podemos escrever
g = 2\ln x - \ln y,
assim
\frac{\partial g}{\partial x} = \frac{2}{x}.

Passo 5

Aplicando a regra do produto em z=f\,g para derivar em relação a x:
\frac{\partial z}{\partial x} = \frac{\partial f}{\partial x}\,g + f\,\frac{\partial g}{\partial x} = e^{\frac{y}{x}}\Bigl(-\frac{y}{x^{2}}\Bigr)\ln\!\Bigl(\tfrac{x^{2}}{y}\Bigr) + e^{\frac{y}{x}}\Bigl(\frac{2}{x}\Bigr).

Passo 6

Fatorando e^{\frac{y}{x}}:
\frac{\partial z}{\partial x} = e^{\frac{y}{x}}\Bigl(-\frac{y}{x^{2}}\ln\tfrac{x^{2}}{y} + \frac{2}{x}\Bigr).

Passo 7

Agora derivamos em relação a y. Para f(x,y)=e^{u} com u=\tfrac{y}{x}:
\frac{\partial u}{\partial y} = \frac{1}{x},
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\frac{\partial f}{\partial y} = e^{\frac{y}{x}}\Bigl(\frac{1}{x}\Bigr).

Passo 8

Para g(x,y)=2\ln x - \ln y:
\frac{\partial g}{\partial y} = -\frac{1}{y}.

Passo 9

Regra do produto para \partial_{y}z:
\frac{\partial z}{\partial y} = \frac{\partial f}{\partial y}\,g + f\,\frac{\partial g}{\partial y} = e^{\frac{y}{x}}\Bigl(\frac{1}{x}\Bigr)\ln\!\Bigl(\tfrac{x^{2}}{y}\Bigr) + e^{\frac{y}{x}}\Bigl(-\frac{1}{y}\Bigr).

Passo 10

Fatorando e^{\frac{y}{x}}:
\frac{\partial z}{\partial y} = e^{\frac{y}{x}}\Bigl(\frac{1}{x}\ln\tfrac{x^{2}}{y} - \frac{1}{y}\Bigr).

Resposta

\displaystyle \frac{\partial z}{\partial x} = e^{\frac{y}{x}}\Bigl(-\frac{y}{x^{2}}\ln\tfrac{x^{2}}{y} + \frac{2}{x}\Bigr)
\displaystyle \frac{\partial z}{\partial y} = e^{\frac{y}{x}}\Bigl(\frac{1}{x}\ln\tfrac{x^{2}}{y} - \frac{1}{y}\Bigr)

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