Calcule a derivada parcial de primeira ordem:
z=e^{x^{2}}\left(x^{2}+y^{2}\right)

Passo 1

O enunciado pede as derivadas parciais de primeira ordem de
z = e^{x^{2}}\bigl(x^{2}+y^{2}\bigr).
O conteúdo aqui é regra do produto e regra da cadeia para funções de várias variáveis. Para \partial z/\partial x tratamos e^{x^2} e (x^2+y^2) como dois fatores que dependem de x. Para \partial z/\partial y só precisamos derivar o segundo fator em relação a y.

Passo 2

Para achar \displaystyle \frac{\partial z}{\partial x}, seja
f(x)=e^{x^2}, \quad g(x,y)=x^2+y^2.
Pela regra do produto e cadeia temos
\frac{\partial z}{\partial x} = f'(x)\,g(x,y) + f(x)\,\frac{\partial g}{\partial x}.
Como
f'(x)=\frac{d}{dx}e^{x^2}=2x\,e^{x^2}, \qquad \frac{\partial g}{\partial x}=2x,
segue
\frac{\partial z}{\partial x} =2x\,e^{x^2}\bigl(x^2+y^2\bigr) +e^{x^2}\,2x =e^{x^2}\bigl[2x(x^2+y^2)+2x\bigr].
Fatorando 2x,
\frac{\partial z}{\partial x} =2x\,e^{x^2}\bigl(x^2+y^2+1\bigr).

Passo 3

Para achar \displaystyle \frac{\partial z}{\partial y}, note que e^{x^2} é constante em relação a y e
\partial(x^2+y^2)/\partial y=2y. Assim
\frac{\partial z}{\partial y} =e^{x^2}\cdot 2y =2y\,e^{x^2}.

Resposta

\frac{\partial z}{\partial x} =2x\,e^{x^2}\bigl(x^2+y^2+1\bigr), \qquad \frac{\partial z}{\partial y} =2y\,e^{x^2}.

Exercícios relacionados