Calcule a derivada parcial de primeira ordem:
f(x, y)=\ln \left(x^{3}+y^{2}\right)-3 x^{2} y^{3}

Passo 1

O enunciado pede para calcular as derivadas parciais de primeira ordem da função
f(x,y)=\ln\bigl(x^{3}+y^{2}\bigr)\;-\;3\,x^{2}y^{3}.
O conteúdo envolvido é derivada parcial, em que tratamos uma variável como variável e a outra como constante. Vamos usar a regra da cadeia para a parte do logaritmo e a regra do poder para o polinômio.

Passo 2

Calculamos \displaystyle \frac{\partial f}{\partial x}.
Para o termo \ln(x^{3}+y^{2}), aplicamos a regra da cadeia:
– derivada de \ln(u) em relação a u é 1/u, e
– derivada de u=x^{3}+y^{2} em relação a x é 3x^{2} (tratando y como constante).
Para o termo -3x^{2}y^{3}, y é constante, então usamos a regra do poder:
– derivada de -3x^{2} em relação a x é -6x, multiplicada por y^{3}.
\frac{\partial f}{\partial x} = \frac{1}{x^{3}+y^{2}}\cdot 3x^{2} \;-\;6x\,y^{3} = \frac{3x^{2}}{x^{3}+y^{2}} \;-\;6x\,y^{3}.

Passo 3

Calculamos \displaystyle \frac{\partial f}{\partial y}.
Para \ln(x^{3}+y^{2}), novamente regra da cadeia:
– derivada de u=x^{3}+y^{2} em relação a y é 2y.
Para -3x^{2}y^{3}, x é constante, então:
– derivada de -3y^{3} em relação a y é -9y^{2}, multiplicada por x^{2}.
\frac{\partial f}{\partial y} = \frac{1}{x^{3}+y^{2}}\cdot 2y \;-\;9x^{2}y^{2} = \frac{2y}{x^{3}+y^{2}} \;-\;9x^{2}y^{2}.

Resposta

\frac{\partial f}{\partial x} = \frac{3x^{2}}{x^{3}+y^{2}} - 6x\,y^{3}, \quad \frac{\partial f}{\partial y} = \frac{2y}{x^{3}+y^{2}} - 9x^{2}y^{2}.

Exercícios relacionados