Calcule a derivada parcial de primeira ordem:
Z=e^{x^{2}+y^{2}+5}

Passo 1

O enunciado pede para calcular as derivadas parciais de primeira ordem da função
Z = e^{x^{2}+y^{2}+5}.
O conteúdo envolvido é a regra da cadeia aplicada a funções de várias variáveis, em que reconhecemos Z como uma composição Z = e^{u(x,y)} com
u(x,y) = x^{2}+y^{2}+5.

Passo 2

Para obter \displaystyle \frac{\partial Z}{\partial x}, aplicamos a regra da cadeia: a derivada de e^{u} em relação a x é e^{u} vezes \frac{\partial u}{\partial x}. Primeiro,
\frac{\partial u}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x}\bigl(x^{2}+y^{2}+5\bigr) = 2x.
Logo,
\frac{\partial Z}{\partial x} = e^{u(x,y)} \cdot 2x = 2x\,e^{x^{2}+y^{2}+5}.

Passo 3

De modo análogo, para \displaystyle \frac{\partial Z}{\partial y} usamos a mesma regra da cadeia. Primeiro,
\frac{\partial u}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y}\bigl(x^{2}+y^{2}+5\bigr) = 2y.
Portanto,
\frac{\partial Z}{\partial y} = e^{u(x,y)} \cdot 2y = 2y\,e^{x^{2}+y^{2}+5}.

Resposta

\displaystyle \frac{\partial Z}{\partial x} = 2x\,e^{x^{2}+y^{2}+5}
\displaystyle \frac{\partial Z}{\partial y} = 2y\,e^{x^{2}+y^{2}+5}

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