Calcule a derivada parcial de primeira ordem:
f(x, y)=x^{2} y+2 \frac{x}{y}

Passo 1

O enunciado pede as derivadas parciais de primeira ordem de
f(x,y)=x^{2}y \;+\;2\,\frac{x}{y}.
O conteúdo envolvido é derivada parcial de função de duas variáveis. Para \partial f/\partial x tratamos y como constante; para \partial f/\partial y tratamos x como constante, aplicando regras de potência e de quociente.

Passo 2

Para calcular \displaystyle \frac{\partial f}{\partial x}, mantenha y fixo.
A derivada de x^{2}y em relação a x é 2xy.
A derivada de 2x/y em relação a x é 2/y.
Logo,
\frac{\partial f}{\partial x} = 2xy + \frac{2}{y}.

Passo 3

Para calcular \displaystyle \frac{\partial f}{\partial y}, mantenha x fixo.
A derivada de x^{2}y em relação a y é x^{2}.
A derivada de 2x/y em relação a y é
2x\;\frac{d}{dy}\bigl(y^{-1}\bigr) =2x\cdot(-1)\,y^{-2} =-\frac{2x}{y^{2}}.
Portanto,
\frac{\partial f}{\partial y} = x^{2} \;-\;\frac{2x}{y^{2}}.

Resposta

\displaystyle \frac{\partial f}{\partial x} = 2xy + \frac{2}{y}
\displaystyle \frac{\partial f}{\partial y} = x^{2} - \frac{2x}{y^{2}}

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