Calcule a derivada parcial de primeira ordem:
f(x, y)=x y-\ln (x y)

Passo 1

O enunciado pede as derivadas parciais de primeira ordem da função
f(x,y)=x\,y-\ln(xy).
O conteúdo aqui é derivada parcial, usando as regras de derivação de produto e de logaritmo.

Passo 2

Aplicamos a propriedade do logaritmo
\ln(xy)=\ln(x)+\ln(y),
para reescrever
f(x,y)=x\,y-\ln(x)-\ln(y).

Passo 3

Para calcular \displaystyle \frac{\partial f}{\partial x}, tratamos y como constante.
A derivada de x\,y em relação a x é y, a de -\ln(x) é -1/x e a de -\ln(y) é zero.
\frac{\partial f}{\partial x}(x,y)=y-\frac{1}{x}.

Passo 4

Para calcular \displaystyle \frac{\partial f}{\partial y}, tratamos x como constante.
A derivada de x\,y em relação a y é x, a de -\ln(x) é zero e a de -\ln(y) é -1/y.
\frac{\partial f}{\partial y}(x,y)=x-\frac{1}{y}.

Resposta

\frac{\partial f}{\partial x}(x,y)=y-\frac{1}{x}, \quad \frac{\partial f}{\partial y}(x,y)=x-\frac{1}{y}.

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