Calcule a derivada parcial de primeira ordem:
Z=\operatorname{cosec}\left(x y^{2}\right)

Passo 1

O enunciado pede para calcular as derivadas parciais de primeira ordem da função de duas variáveis
Z = \operatorname{cosec}\bigl(x\,y^{2}\bigr).
O conteúdo principal aqui é derivada parcial e regra da cadeia, além das derivadas de funções trigonométricas.

Passo 2

Definimos
u = x\,y^{2},
de modo que
Z = \operatorname{cosec}(u).
Sabemos que a derivada de \operatorname{cosec}(u) em relação a u é
\frac{d}{du}\bigl(\operatorname{cosec}(u)\bigr) = -\operatorname{cosec}(u)\,\cot(u).

Passo 3

Para \displaystyle \frac{\partial Z}{\partial x}, calculamos primeiro
\frac{\partial u}{\partial x} = y^{2}.
Pela regra da cadeia,
\frac{\partial Z}{\partial x} = \frac{d}{du}\bigl(\operatorname{cosec}(u)\bigr)\cdot\frac{\partial u}{\partial x} = \bigl(-\operatorname{cosec}(u)\,\cot(u)\bigr)\cdot y^{2} = -\,y^{2}\,\operatorname{cosec}\bigl(x\,y^{2}\bigr)\,\cot\bigl(x\,y^{2}\bigr).

Passo 4

Para \displaystyle \frac{\partial Z}{\partial y}, calculamos primeiro
\frac{\partial u}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y}\bigl(x\,y^{2}\bigr) = 2\,x\,y.
Novamente, pela regra da cadeia,
\frac{\partial Z}{\partial y} = \frac{d}{du}\bigl(\operatorname{cosec}(u)\bigr)\cdot\frac{\partial u}{\partial y} = \bigl(-\operatorname{cosec}(u)\,\cot(u)\bigr)\cdot(2\,x\,y) = -\,2\,x\,y\,\operatorname{cosec}\bigl(x\,y^{2}\bigr)\,\cot\bigl(x\,y^{2}\bigr).

Resposta

\frac{\partial Z}{\partial x} = -\,y^{2}\,\operatorname{cosec}\bigl(x\,y^{2}\bigr)\,\cot\bigl(x\,y^{2}\bigr), \qquad \frac{\partial Z}{\partial y} = -\,2\,x\,y\,\operatorname{cosec}\bigl(x\,y^{2}\bigr)\,\cot\bigl(x\,y^{2}\bigr).

Exercícios relacionados