Calcule a derivada parcial de primeira ordem:
Z=\operatorname{sec} \left(x^{2}+y\right)

Passo 1

O enunciado pede para calcular as derivadas parciais de primeira ordem de
Z = \operatorname{sec}\bigl(x^{2} + y\bigr).
O conteúdo é diferenciação parcial usando a regra da cadeia, já que Z é uma função composta: primeiro temos u = x^{2}+y e depois Z = \operatorname{sec}(u).

Passo 2

Vamos definir a função interna
u(x,y) = x^{2} + y
e lembrar que a derivada de \operatorname{sec}(u) em relação a u é
\frac{d}{du}\operatorname{sec}(u) = \operatorname{sec}(u)\,\tan(u).

Passo 3

Agora calculamos as derivadas parciais de u:
\frac{\partial u}{\partial x} = 2x, \qquad \frac{\partial u}{\partial y} = 1.

Passo 4

Para \displaystyle \frac{\partial Z}{\partial x}, aplicamos a regra da cadeia:
\frac{\partial Z}{\partial x} = \frac{d}{du}\operatorname{sec}(u)\;\biggr|_{u=x^{2}+y} \;\cdot\;\frac{\partial u}{\partial x} = \bigl[\operatorname{sec}(u)\,\tan(u)\bigr]_{u=x^{2}+y}\cdot 2x = 2x\,\operatorname{sec}\bigl(x^{2}+y\bigr)\,\tan\bigl(x^{2}+y\bigr).

Passo 5

Para \displaystyle \frac{\partial Z}{\partial y}, faz-se o mesmo:
\frac{\partial Z}{\partial y} = \frac{d}{du}\operatorname{sec}(u)\;\biggr|_{u=x^{2}+y} \;\cdot\;\frac{\partial u}{\partial y} = \bigl[\operatorname{sec}(u)\,\tan(u)\bigr]_{u=x^{2}+y}\cdot 1 = \operatorname{sec}\bigl(x^{2}+y\bigr)\,\tan\bigl(x^{2}+y\bigr).

Resposta

\frac{\partial Z}{\partial x} = 2x\,\operatorname{sec}\bigl(x^{2}+y\bigr)\,\tan\bigl(x^{2}+y\bigr), \qquad \frac{\partial Z}{\partial y} = \operatorname{sec}\bigl(x^{2}+y\bigr)\,\tan\bigl(x^{2}+y\bigr).

Exercícios relacionados