Calcule a derivada de primeira ordem das seguintes funções:
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para calcular a derivada de primeira ordem da função $ f(x) = e^{2x} \cos(x) $. Estamos trabalhando com cálculo, especificamente com derivadas de funções que são produtos de outras funções. Para resolver isso, vamos precisar usar a regra do produto, que é essencial quando temos uma função que é o produto de duas outras funções diferenciáveis.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as duas partes que estão se multiplicando na função $ f(x) = e^{2x} \cos(x) $. A gente tem:
- $ u(x) = e^{2x} $
- $ v(x) = \cos(x) $
A regra do produto diz que a derivada de $ f(x) = u(x) \cdot v(x) $ é:
Passo 3
Vamos calcular a derivada de $ u(x) = e^{2x} $. Sabemos que a derivada de $ e^{kx} $ em relação a $ x $ é $ k e^{kx} $. Então:
Passo 4
Agora, vamos calcular a derivada de $ v(x) = \cos(x) $. A derivada de $ \cos(x) $ em relação a $ x $ é $ -\sin(x) $. Portanto:
Passo 5
Com as derivadas de $ u(x) $ e $ v(x) $ em mãos, aplicamos a regra do produto:
Passo 6
Podemos simplificar a expressão fatorando $ e^{2x} $:
Resposta
A derivada de primeira ordem da função $ f(x) = e^{2x} \cos(x) $ é: