Resolva as seguintes equações diferenciais
y^prime-y=2 t, y(0)=2

Passo 1

Vamos resolver a equação diferencial $ y^{\prime} - y = 2t $ com a condição inicial $ y(0) = 2 $. Esse tipo de problema faz parte do estudo de Equações Diferenciais Lineares de Primeira Ordem. Para resolver, vamos precisar usar o método do Fator Integrante.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação na forma padrão de uma equação diferencial linear de primeira ordem:
y^prime + P(t) y = Q(t)
No nosso caso, temos:
y^prime - y = 2t
Então, identificamos que:
P(t) = -1 e Q(t) = 2t

Passo 3

Agora, vamos encontrar o Fator Integrante ($ \mu(t) $), que é dado por:
mu(t)
Substituindo $ P(t) = -1 $:
mu(t) = e^integral P(t) , dt

Passo 4

Multiplicamos toda a equação diferencial original pelo fator integrante:
e^-t y^prime - e^-t y = 2t e^-t
A parte esquerda da equação agora é a derivada de $ y $ multiplicada pelo fator integrante:
y

Passo 5

Vamos integrar ambos os lados em relação a $ t $:
t
A integral do lado esquerdo simplifica para:
integral ddt (e^-t y) , dt = integral 2t e^-t , dt

Passo 6

Para resolver a integral $ \int 2t e^{-t} , dt $, usamos o método de Integração por Partes, onde:
integral 2t e^-t , dt
u = 2t Rightarrow du = 2 , dt
Aplicando a fórmula de integração por partes:
dv = e^-t , dt Rightarrow v = -e^-t
Substituindo:
integral u , dv = uv - integral v , du
Onde $ C $ é a constante de integração.

Passo 7

Substituindo de volta na equação:
e^-t y = -2t e^-t - 2 e^-t + C
Multiplicando ambos os lados por $ e^{t} $ para isolar $ y $:
e^t

Passo 8

Aplicamos a condição inicial $ y(0) = 2 $ para encontrar $ C $:
y(0) = 2

Resposta

A solução da equação diferencial é:
y(t) = -2t - 2 + 4 e^t

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