Resolva as seguintes equações diferenciais
Passo 1
Vamos resolver a equação diferencial $ y^{\prime} - y = 2t $ com a condição inicial $ y(0) = 2 $. Esse tipo de problema faz parte do estudo de Equações Diferenciais Lineares de Primeira Ordem. Para resolver, vamos precisar usar o método do Fator Integrante.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação na forma padrão de uma equação diferencial linear de primeira ordem:
No nosso caso, temos:
Então, identificamos que:
Passo 3
Agora, vamos encontrar o Fator Integrante ($ \mu(t) $), que é dado por:
Substituindo $ P(t) = -1 $:
Passo 4
Multiplicamos toda a equação diferencial original pelo fator integrante:
A parte esquerda da equação agora é a derivada de $ y $ multiplicada pelo fator integrante:
Passo 5
Vamos integrar ambos os lados em relação a $ t $:
A integral do lado esquerdo simplifica para:
Passo 6
Para resolver a integral $ \int 2t e^{-t} , dt $, usamos o método de Integração por Partes, onde:
Aplicando a fórmula de integração por partes:
Substituindo:
Onde $ C $ é a constante de integração.
Passo 7
Substituindo de volta na equação:
Multiplicando ambos os lados por $ e^{t} $ para isolar $ y $:
Passo 8
Aplicamos a condição inicial $ y(0) = 2 $ para encontrar $ C $:
Resposta
A solução da equação diferencial é: