Calcule a derivada de primeira ordem das seguintes funções:
f(x)=sen^2(2 x)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular a derivada de primeira ordem da função $ f(x) = \operatorname{sen}^{2}(2x) $. Isso está dentro do conteúdo de derivadas, especificamente usando a regra da cadeia que é muito útil quando temos funções compostas.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a função para facilitar a visualização:
f(x) = [sen(2x)]^2
Aqui, vemos que temos uma função ao quadrado, onde a parte interna é $ \operatorname{sen}(2x) $.

Passo 3

Agora, para derivar essa função, vamos usar a regra da cadeia. A regra da cadeia nos ajuda a derivar funções compostas, ou seja, funções dentro de outras funções. A fórmula geral é:
ddx[u(x)]^n = n cdot [u(x)]^n-1 cdot u^-(x)
No nosso caso, $ u(x) = \operatorname{sen}(2x) $ e $ n = 2 $.

Passo 4

Aplicando a regra da cadeia:
ddx [sen(2x)]^2 = 2 cdot [sen(2x)]^1 cdot ddx[sen(2x)]
Agora, precisamos derivar $ \operatorname{sen}(2x) $. Sabemos que:
sen(2x)
Então, substituindo de volta:
ddx sen(2x) = cos(2x) cdot 2

Resposta

A derivada de $ f(x) = \operatorname{sen}^{2}(2x) $ é:
f(x) = sen^2(2x)

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