Calcule a derivada das seguintes funções:
f(a)=\ln \left(\frac{5}{3} a^{3}\right)+\ln \left(2 a^{2}\right)

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
f(a)=\ln\!\bigl(\tfrac{5}{3}a^{3}\bigr)+\ln\!\bigl(2a^{2}\bigr).
Para resolver, vamos usar as propriedades de logaritmo (soma de log = log do produto, log de potência) e a regra
\displaystyle\frac{d}{da}\bigl[\ln(u(a))\bigr]=\frac{u'(a)}{u(a)}.

Passo 2

Aplicando as propriedades de logaritmo:
\ln\!\bigl(\tfrac{5}{3}a^{3}\bigr) =\ln\!\bigl(\tfrac{5}{3}\bigr)+\ln\!(a^{3}) =\ln\!\bigl(\tfrac{5}{3}\bigr)+3\ln(a),
\ln\!\bigl(2a^{2}\bigr) =\ln(2)+\ln\!(a^{2}) =\ln(2)+2\ln(a).
Logo,
f(a)=\ln\!\bigl(\tfrac{5}{3}\bigr)+\ln(2)+3\ln(a)+2\ln(a) =5\ln(a)+\ln\!\bigl(\tfrac{10}{3}\bigr),
pois \ln\!\bigl(\tfrac{5}{3}\bigr)+\ln(2)=\ln\!\bigl(\tfrac{10}{3}\bigr).

Passo 3

Derivando f(a)=5\ln(a)+\text{constante}, obtemos
f'(a)=5\cdot\frac{1}{a}+0 =\frac{5}{a}.

Resposta

\displaystyle f'(a)=\frac{5}{a}.

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