Calcule a derivada das seguintes funções:
f(x)=\cos ^{3}(\sqrt{2 x+1})

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
f(x)=\cos^{3}\bigl(\sqrt{2x+1}\bigr).
O conteúdo principal aqui é a regra da cadeia, pois temos uma função composta várias vezes.

Passo 2

Para organizar a aplicação da regra da cadeia, definimos camadas auxiliares:
w(x)=2x+1,\quad v(w)=\sqrt{w},\quad u(v)=\cos(v),\quad y(u)=u^{3}.
Assim, f(x)=y\bigl(u(v(w(x)))\bigr).

Passo 3

Pela regra da cadeia em cascata,
f'(x)=y'(u)\,\cdot\,u'(v)\,\cdot\,v'(w)\,\cdot\,w'(x).
Agora calculamos cada derivada:
y'(u)=3u^{2},
u'(v)=-\sin(v),
v'(w)=\frac{1}{2\sqrt{w}},
w'(x)=2.

Passo 4

Substituindo u=\cos(\sqrt{2x+1}), v=\sqrt{2x+1} e w=2x+1 na expressão de f'(x), temos
f'(x) =3\cos^{2}\bigl(\sqrt{2x+1}\bigr)\;\bigl[-\sin\bigl(\sqrt{2x+1}\bigr)\bigr]\;\frac{1}{2\sqrt{2x+1}}\;2.

Passo 5

O fator 2 do numerador cancela com o 2 do denominador em v'(w), pois
\frac{2}{2\sqrt{2x+1}}=\frac{1}{\sqrt{2x+1}}.
Logo,
f'(x)=-\,\frac{3\cos^{2}\bigl(\sqrt{2x+1}\bigr)\,\sin\bigl(\sqrt{2x+1}\bigr)}{\sqrt{2x+1}}.

Resposta

f'(x)=-\frac{3\cos^{2}\bigl(\sqrt{2x+1}\bigr)\,\sin\bigl(\sqrt{2x+1}\bigr)}{\sqrt{2x+1}}.

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