Calcule a derivada das seguintes funções:
f(x)=(\cos (x))^{5}

Passo 1

O enunciado pede para calcular a derivada da função
f(x)=(\cos(x))^{5}.
Informações dadas: a função é a quinta potência de \cos(x). O objetivo é encontrar f'(x), a derivada de f em função de x. Não há outras condições especiais indicadas.

Passo 2

Vamos notar a estrutura da função: ela é uma composição de duas partes:
\text{parte externa: } u\mapsto u^{5},\qquad \text{parte interna: } x\mapsto \cos(x),
ou seja, f(x)=\big(u(x)\big)^{5} com u(x)=\cos(x). Quando uma função é composição dessa forma, ao derivar precisamos aplicar o resultado da derivada da parte externa avaliada na parte interna e multiplicar pela derivada da parte interna (isso é a ideia básica da regra da cadeia).

Passo 3

Aplico a regra para a potência composta: se temos F(x)=\big(u(x)\big)^{n} com n constante, então
\frac{d}{dx}\big(u(x)\big)^{n}=n\big(u(x)\big)^{n-1}\cdot u'(x).
Aqui cada símbolo significa:
\;n é o expoente constante (no nosso caso n=5),
\;u(x) é a função interna (no nosso caso u(x)=\cos(x)),
\;u'(x) é a derivada da função interna em relação a x.
Intuição rápida: primeiro derivamos a potência como se u fosse a variável (obtendo n u^{n-1}) e depois multiplicamos pela taxa de variação de u em relação a x.

Passo 4

Agora preciso da derivada da parte interna u(x)=\cos(x). Um jeito simples de ver isso é usar a identidade \cos(x)=\sin\big(x+\tfrac{\pi}{2}\big). Como sabemos que \dfrac{d}{dx}\sin(x)=\cos(x), segue
\frac{d}{dx}\cos(x)=\frac{d}{dx}\sin\big(x+\tfrac{\pi}{2}\big)=\cos\big(x+\tfrac{\pi}{2}\big).
E \cos\big(x+\tfrac{\pi}{2}\big)=-\sin(x). Portanto
\frac{d}{dx}\cos(x)=-\sin(x).

Passo 5

Agora juntamos as duas peças usando a fórmula da potência composta do Passo 3, com n=5 e u(x)=\cos(x), e usando u'(x)=-\sin(x) do Passo 4. Assim
f'(x)=5\big(\cos(x)\big)^{4}\cdot\big(-\sin(x)\big).
Simplificando o sinal:
f'(x)=-5\big(\cos(x)\big)^{4}\sin(x).

Passo 6

Cheque rápido: em x=0 temos \cos(0)=1 e \sin(0)=0, então f'(0)=-5\cdot1^{4}\cdot0=0. Faz sentido porque f(x)=(\cos x)^5 tem máximo horizontal em x=0. Isso é só para confirmar que a forma final se comporta como esperamos.

Resposta

-5\big(\cos(x)\big)^{4}\sin(x)

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