Calcule a derivada das seguintes funções:
Passo 1
O enunciado pede para calcular a derivada da função
Informações dadas: a função é a quinta potência de
. O objetivo é encontrar
, a derivada de
em função de
. Não há outras condições especiais indicadas.
Passo 2
Vamos notar a estrutura da função: ela é uma composição de duas partes:
ou seja,
com
. Quando uma função é composição dessa forma, ao derivar precisamos aplicar o resultado da derivada da parte externa avaliada na parte interna e multiplicar pela derivada da parte interna (isso é a ideia básica da regra da cadeia).
Passo 3
Aplico a regra para a potência composta: se temos
com
constante, então
Aqui cada símbolo significa:
é o expoente constante (no nosso caso
),
é a função interna (no nosso caso
),
é a derivada da função interna em relação a
.
Intuição rápida: primeiro derivamos a potência como se fosse a variável (obtendo
) e depois multiplicamos pela taxa de variação de
em relação a
.
Intuição rápida: primeiro derivamos a potência como se
Passo 4
Agora preciso da derivada da parte interna
. Um jeito simples de ver isso é usar a identidade
. Como sabemos que
, segue
E
. Portanto
Passo 5
Agora juntamos as duas peças usando a fórmula da potência composta do Passo 3, com
e
, e usando
do Passo 4. Assim
Simplificando o sinal:
Passo 6
Cheque rápido: em
temos
e
, então
. Faz sentido porque
tem máximo horizontal em
. Isso é só para confirmar que a forma final se comporta como esperamos.