Calcule a derivada das seguintes funções:
Passo 1
O enunciado pede para calcular a derivada de
.
Informações dadas: a variável é e o numerador e denominador da fração são
e
. Observação do domínio: o denominador não pode ser zero, portanto
, ou seja
.
Informações dadas: a variável é
Passo 2
Ferramenta principal que vamos usar: regra da cadeia. Vou explicar direitinho. Se tivermos uma função composta
, a regra da cadeia diz que a derivada é o produto da derivada da função exterior avaliada na função interior pela derivada da função interior. Em símbolos:
Aqui
é a “parte de dentro” (função interior) e
é a “parte de fora” (função exterior). É como desmontar um brinquedo em camadas: primeiro derivamos a camada exterior, depois multiplicamos pela taxa de variação da camada interior.
Passo 3
Identifico as camadas da composição:
e
A derivada de
em relação a
é
. Aplicando a regra da cadeia:
ou, substituindo
,
Passo 4
Agora precisamos de
. Para derivar uma razão usamos a regra do quociente. Se
, então
Aqui
é o numerador e
o denominador. Essa fórmula vem da definição de derivada e é prática para frações.
Passo 5
Aplicando a regra do quociente ao nosso
: tome
e
. Então
e
. Substituindo na fórmula:
Calcule o numerador passo a passo:
Portanto
Passo 6
Volto para
e substituo
:
Juntando os fatores, o quadrado da fração multiplica mais um quadrado do denominador, ficando potência 4 no denom. Simplificando:
Lembre que isso vale para
, pois aí o denominador original é zero.
Passo 7
Resumo rápido para a prova: identifique a parte de fora
e a parte de dentro (a fração), aplique regra da cadeia (multiplica por
) e calcule a derivada da fração com a regra do quociente. Pronto — só manipulação algébrica depois. Força aí, você consegue!