Calcule a derivada das seguintes funções:
f(y)=\left(\frac{y-7}{3 y-11}\right)^{3}

Passo 1

O enunciado pede para calcular a derivada de f(y)=\left(\frac{y-7}{3 y-11}\right)^{3}.
Informações dadas: a variável é y e o numerador e denominador da fração são y-7 e 3y-11. Observação do domínio: o denominador não pode ser zero, portanto 3y-11\neq0, ou seja y\neq\frac{11}{3}.

Passo 2

Ferramenta principal que vamos usar: regra da cadeia. Vou explicar direitinho. Se tivermos uma função composta f(y)=g(u(y)), a regra da cadeia diz que a derivada é o produto da derivada da função exterior avaliada na função interior pela derivada da função interior. Em símbolos:
\big(g(u(y))\big)' = g'\big(u(y)\big)\cdot u'(y).
Aqui u(y) é a “parte de dentro” (função interior) e g é a “parte de fora” (função exterior). É como desmontar um brinquedo em camadas: primeiro derivamos a camada exterior, depois multiplicamos pela taxa de variação da camada interior.

Passo 3

Identifico as camadas da composição:
u(y)=\frac{y-7}{3y-11}
e
g(u)=u^{3}.
A derivada de g(u) em relação a u é g'(u)=3u^{2}. Aplicando a regra da cadeia:
f'(y)=3\big(u(y)\big)^{2}\cdot u'(y)
ou, substituindo u(y),
f'(y)=3\left(\frac{y-7}{3y-11}\right)^{2}\cdot u'(y).

Passo 4

Agora precisamos de u'(y). Para derivar uma razão usamos a regra do quociente. Se u(y)=\dfrac{a(y)}{b(y)}, então
u'(y)=\frac{a'(y)\,b(y)-a(y)\,b'(y)}{[b(y)]^{2}}.
Aqui a(y) é o numerador e b(y) o denominador. Essa fórmula vem da definição de derivada e é prática para frações.

Passo 5

Aplicando a regra do quociente ao nosso u(y): tome a(y)=y-7 e b(y)=3y-11. Então a'(y)=1 e b'(y)=3. Substituindo na fórmula:
u'(y)=\frac{1\cdot(3y-11)-(y-7)\cdot 3}{(3y-11)^{2}}.
Calcule o numerador passo a passo:
1\cdot(3y-11)-(y-7)\cdot 3 = 3y-11 -3y +21 = 10.
Portanto
u'(y)=\frac{10}{(3y-11)^{2}}.

Passo 6

Volto para f'(y) e substituo u'(y):
f'(y)=3\left(\frac{y-7}{3y-11}\right)^{2}\cdot \frac{10}{(3y-11)^{2}}.
Juntando os fatores, o quadrado da fração multiplica mais um quadrado do denominador, ficando potência 4 no denom. Simplificando:
f'(y)=\frac{30\,(y-7)^{2}}{(3y-11)^{4}}.
Lembre que isso vale para y\neq\frac{11}{3}, pois aí o denominador original é zero.

Passo 7

Resumo rápido para a prova: identifique a parte de fora u^3 e a parte de dentro (a fração), aplique regra da cadeia (multiplica por 3u^2) e calcule a derivada da fração com a regra do quociente. Pronto — só manipulação algébrica depois. Força aí, você consegue!

Resposta

\displaystyle f'(y)=\frac{30\,(y-7)^{2}}{(3y-11)^{4}}

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