Calcule a derivada das seguintes funções:
f(x)=\frac{2}{5(\operatorname{sen}(3 x-4))}

Passo 1

O que o enunciado pede: calcular a derivada da função
f(x)=\frac{2}{5(\operatorname{sen}(3x-4))}.
Informações dadas que vamos usar: a função é o quociente de 2 por 5 vezes \operatorname{sen}(3x-4). Note que sempre que \operatorname{sen}(3x-4)=0 a função não está definida (isso é só observação de domínio; não precisamos resolver isso aqui para obter a derivada).

Passo 2

Primeiro reescrevo a função de um jeito que facilita a diferenciação, transformando o fator em potência negativa:
f(x)=\frac{2}{5}\cdot\big(\operatorname{sen}(3x-4)\big)^{-1}.
Aqui eu estou usando a propriedade 1/u = u^{-1}. Também uso a regra do fator constante: se c é constante e g(x) uma função, então
\text{se } F(x)=c\cdot g(x), \quad \text{então } F'(x)=c\cdot g'(x).ã
No nosso caso c=\frac{2}{5} e g(x)=\big(\operatorname{sen}(3x-4)\big)^{-1}.

Passo 3

Vou explicar a regra que vamos aplicar em seguida (mistura de regra da potência e regra da cadeia). Para uma função composta g(h(x)) vale a regra da cadeia:
\text{se } G(x)=g(h(x)), \quad \text{então } G'(x)=g'(h(x))\cdot h'(x).ã
Além disso, a regra da potência diz que, para uma função u(x) e um número real n,
\frac{d}{dx}\big(u(x)^n\big)=n\,u(x)^{\,n-1}\cdot u'(x).
No nosso caso usamos a potência com n=-1. Aplicando a regra da potência com n=-1 obtemos a fórmula prática para o inverso:
\frac{d}{dx}\big(u(x)^{-1}\big)=-1\cdot u(x)^{-2}\cdot u'(x)=-\frac{u'(x)}{u(x)^2}.
Um exemplo rápido e concreto: \frac{d}{dx}\big(\operatorname{sen}x\big)^{-1}=-\frac{\cos x}{\operatorname{sen}^2 x}.

Passo 4

Identifico as funções internas para aplicar a cadeia de forma clara. Defino
u(x)=\operatorname{sen}(3x-4).
Então g(x)=u(x)^{-1} e f(x)=\dfrac{2}{5}\,g(x). Precisamos de u'(x). Como u(x)=\operatorname{sen}(v(x)) com v(x)=3x-4, pela regra da cadeia:
u'(x)=\frac{d}{dx}\operatorname{sen}(v(x))=\cos(v(x))\cdot v'(x).
A derivada da função linear v(x)=3x-4 é
v'(x)=3.
Portanto
u'(x)=\cos(3x-4)\cdot 3=3\cos(3x-4).

Passo 5

Agora aplico a regra da potência (com n=-1) sobre g(x)=u(x)^{-1}:
g'(x)=-1\cdot u(x)^{-2}\cdot u'(x)=-u'(x)\,u(x)^{-2}.
Substituindo u(x)=\operatorname{sen}(3x-4) e u'(x)=3\cos(3x-4), temos
g'(x)=-\big(3\cos(3x-4)\big)\cdot\big(\operatorname{sen}(3x-4)\big)^{-2}.

Passo 6

Finalmente uso a regra do fator constante para obter f'(x). Lembrando que f(x)=\dfrac{2}{5}\,g(x), segue
f'(x)=\frac{2}{5}\cdot g'(x)=\frac{2}{5}\cdot\Big(-3\cos(3x-4)\cdot\big(\operatorname{sen}(3x-4)\big)^{-2}\Big).
Aqui parei no produto das constantes e na forma com potência negativa para deixar claro cada etapa algébrica antes da simplificação final.

Resposta

-\frac{6\cos(3x-4)}{5\operatorname{sen}^2(3x-4)}

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