Calcule a derivada das seguintes funções:
Passo 1
O que o enunciado pede: calcular a derivada da função
Informações dadas que vamos usar: a função é o quociente de
por
vezes
. Note que sempre que
a função não está definida (isso é só observação de domínio; não precisamos resolver isso aqui para obter a derivada).
Passo 2
Primeiro reescrevo a função de um jeito que facilita a diferenciação, transformando o fator em potência negativa:
Aqui eu estou usando a propriedade
. Também uso a regra do fator constante: se
é constante e
uma função, então
No nosso caso
e
.
Passo 3
Vou explicar a regra que vamos aplicar em seguida (mistura de regra da potência e regra da cadeia). Para uma função composta
vale a regra da cadeia:
Além disso, a regra da potência diz que, para uma função
e um número real
,
No nosso caso usamos a potência com
. Aplicando a regra da potência com
obtemos a fórmula prática para o inverso:
Um exemplo rápido e concreto:
.
Passo 4
Identifico as funções internas para aplicar a cadeia de forma clara. Defino
Então
e
. Precisamos de
. Como
com
, pela regra da cadeia:
A derivada da função linear
é
Portanto
Passo 5
Agora aplico a regra da potência (com
) sobre
:
Substituindo
e
, temos
Passo 6
Finalmente uso a regra do fator constante para obter
. Lembrando que
, segue
Aqui parei no produto das constantes e na forma com potência negativa para deixar claro cada etapa algébrica antes da simplificação final.