6(1,5) Calcule a derivada das seguintes funçōes:
f(x)=\cos (x) \ln (x)

Passo 1

O enunciado pede a derivada da função
f(x)=\cos(x)\,\ln(x),
que envolve o produto de duas funções: u(x)=\cos(x) e v(x)=\ln(x). Vamos usar a regra do produto, além das derivadas básicas de \cos(x) e de \ln(x).

Passo 2

A regra do produto diz que
(fg)' = f'\,g + f\,g'.
Aqui, f(x)=u(x) e g(x)=v(x), logo
f'(x) = u'(x)\,v(x) + u(x)\,v'(x).

Passo 3

Calculamos separadamente as derivadas de u e v:
u(x)=\cos(x)\quad\Longrightarrow\quad u'(x)=-\sin(x),
v(x)=\ln(x)\quad\Longrightarrow\quad v'(x)=\frac{1}{x}.

Passo 4

Substituindo em
f'(x)=u'(x)\,v(x)+u(x)\,v'(x)
temos
f'(x) = \bigl(-\sin(x)\bigr)\,\ln(x) + \cos(x)\,\frac{1}{x}.
Podemos reescrever de forma mais limpa:
f'(x) = -\sin(x)\,\ln(x) + \frac{\cos(x)}{x}.

Resposta

f'(x) = -\sin(x)\,\ln(x) + \frac{\cos(x)}{x}.

Exercícios relacionados