6(1,5) Calcule a derivada das seguintes funçōes:
f(x)=5 \sqrt[3]{x^{2}-1}

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
f(x)=5\sqrt[3]{x^{2}-1}.
O conteúdo principal aqui é a aplicação da regra da cadeia, já que temos uma função composta g(u)=u^{1/3} avaliada em u=x^2-1, multiplicada pela constante 5.

Passo 2

Primeiro, reescrevemos f(x) com expoente racional para facilitar a derivação:
f(x)=5\,(x^{2}-1)^{\tfrac{1}{3}}.
Aqui a parte externa é g(u)=u^{1/3} e a parte interna é u(x)=x^2-1.

Passo 3

Aplicando a regra da cadeia e a regra da constante:
f'(x) =5\cdot \frac{1}{3}(x^{2}-1)^{-\tfrac{2}{3}}\cdot \frac{d}{dx}(x^{2}-1) =5\cdot \frac{1}{3}(x^{2}-1)^{-\tfrac{2}{3}}\cdot 2x.
Agora simplificamos os coeficientes:
f'(x)=\frac{10x}{3}\,(x^{2}-1)^{-\tfrac{2}{3}}.

Resposta

f'(x)=\frac{10x}{3\,(x^{2}-1)^{\tfrac{2}{3}}}.

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