Calcule a derivada das seguintes funções:
f(x)=\frac{\left(\operatorname{sen}\left(x^{2}\right)\right)^{-3}}{\cos (1-x)}

Passo 1

O enunciado pede para calcular a derivada da função
f(x)=\frac{\left(\operatorname{sen}\left(x^{2}\right)\right)^{-3}}{\cos(1-x)}.
Informações relevantes fornecidas:
\left(\operatorname{sen}\left(x^{2}\right)\right)^{-3} é o numerador e \cos(1-x) é o denominador. A tarefa é encontrar f'(x), a derivada de f em função de x.

Passo 2

Vou usar as regras básicas de derivação: regra do produto/quotient (escolhi tratar f como produto de duas funções), regra da cadeia e regra da potência. Aqui estão as fórmulas que vamos usar (explicadas):
\text{(produto)}\quad (u\cdot v)'=u'v+uv',
onde u e v são funções dependentes de x. Isto significa: para derivar um produto, derivamos uma parcela e multiplicamos pela outra, e somamos o termo simétrico.
\text{(cadeia)}\quad \frac{d}{dx}h(g(x))=h'(g(x))\cdot g'(x),
isto diz que ao derivar uma composição, derivamos a função externa em relação à interna e multiplicamos pela derivada da interna.
\text{(potência)}\quad \frac{d}{dx}\big(g(x)\big)^n=n\big(g(x)\big)^{n-1}\cdot g'(x),ê
onde n é um número real.
Além disso usaremos as derivadas elementares:
\frac{d}{dx}\sin(x)=\cos(x),\qquad \frac{d}{dx}\cos(x)=-\sin(x).
Vou aplicar essas regras passo a passo de forma explícita (sem pular etapas).

Passo 3

Reescrevo f como produto de duas funções mais simples:
u(x)=\big(\sin(x^{2})\big)^{-3},\qquad v(x)=\big(\cos(1-x)\big)^{-1}.
Assim f(x)=u(x)\,v(x). Não estou resolvendo ainda, só defini as peças para aplicar as regras.

Passo 4

Derivo u(x)=\big(\sin(x^{2})\big)^{-3} usando a regra da potência combinada com a cadeia.
Aplicando \frac{d}{dx}(g(x))^{n}=n(g(x))^{n-1}g'(x) com g(x)=\sin(x^{2}) e n=-3:
u'(x)=-3\big(\sin(x^{2})\big)^{-4}\cdot\frac{d}{dx}\big(\sin(x^{2})\big).
Agora derivo \sin(x^{2}) com a regra da cadeia: \frac{d}{dx}\sin(x^{2})=\cos(x^{2})\cdot\frac{d}{dx}(x^{2}). E \frac{d}{dx}(x^{2})=2x. Portanto
\frac{d}{dx}\sin(x^{2})=\cos(x^{2})\cdot 2x.
Substituindo:
u'(x)=-3\big(\sin(x^{2})\big)^{-4}\cdot\big(2x\cos(x^{2})\big).
Simplificando o fator numérico:
u'(x)=-6x\frac{\cos(x^{2})}{\big(\sin(x^{2})\big)^{4}}.

Passo 5

Derivo v(x)=\big(\cos(1-x)\big)^{-1}. Novamente uso potência com g(x)=\cos(1-x) e n=-1:
v'(x)=-1\big(\cos(1-x)\big)^{-2}\cdot\frac{d}{dx}\big(\cos(1-x)\big).
Agora \frac{d}{dx}\cos(1-x) pela regra da cadeia: \frac{d}{dx}\cos(1-x)=-\sin(1-x)\cdot\frac{d}{dx}(1-x). E \frac{d}{dx}(1-x)=-1. Assim
\frac{d}{dx}\cos(1-x)=-\sin(1-x)\cdot(-1)=\sin(1-x).
Substituindo em v':
v'(x)=-\big(\cos(1-x)\big)^{-2}\cdot\sin(1-x).
Ou escrito como fração:
v'(x)=-\frac{\sin(1-x)}{\big(\cos(1-x)\big)^{2}}.

Passo 6

Aplico a regra do produto (u v)'=u'v+uv'. Substituindo u,u',v,v':
f'(x)=\left(-6x\frac{\cos(x^{2})}{\big(\sin(x^{2})\big)^{4}}\right)\cdot\frac{1}{\cos(1-x)} +\frac{1}{\big(\sin(x^{2})\big)^{3}}\cdot\left(-\frac{\sin(1-x)}{\big(\cos(1-x)\big)^{2}}\right).
Escrevendo cada termo de forma clara:
f'(x)=-6x\frac{\cos(x^{2})}{\big(\sin(x^{2})\big)^{4}\cos(1-x)} -\frac{\sin(1-x)}{\big(\sin(x^{2})\big)^{3}\big(\cos(1-x)\big)^{2}}.

Passo 7

Faço uma simplificação algébrica para colocar em denominador comum \big(\sin(x^{2})\big)^{4}\big(\cos(1-x)\big)^{2}. Multiplico o primeiro termo por \frac{\cos(1-x)}{\cos(1-x)} e o segundo termo por \frac{\sin(x^{2})}{\sin(x^{2})} para obter o mesmo denominador:
f'(x)=-\frac{6x\cos(x^{2})\cos(1-x)}{\big(\sin(x^{2})\big)^{4}\big(\cos(1-x)\big)^{2}} -\frac{\sin(1-x)\sin(x^{2})}{\big(\sin(x^{2})\big)^{4}\big(\cos(1-x)\big)^{2}}.
Agora uno os numeradores sobre o mesmo denominador:
f'(x)=-\frac{6x\cos(x^{2})\cos(1-x)+\sin(1-x)\sin(x^{2})} {\big(\sin(x^{2})\big)^{4}\big(\cos(1-x)\big)^{2}}.
Pronto — esta é uma forma simplificada e compacta da derivada.

Resposta

f'(x)=-\frac{6x\cos(x^{2})\cos(1-x)+\sin(1-x)\sin(x^{2})} {\big(\sin(x^{2})\big)^{4}\big(\cos(1-x)\big)^{2}}.

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