Calcule a derivada das seguintes funções:
Passo 1
O enunciado pede para calcular a derivada da função
Informações relevantes fornecidas:
é o numerador e
é o denominador. A tarefa é encontrar
, a derivada de
em função de
.
Passo 2
Vou usar as regras básicas de derivação: regra do produto/quotient (escolhi tratar
como produto de duas funções), regra da cadeia e regra da potência. Aqui estão as fórmulas que vamos usar (explicadas):
onde
e
são funções dependentes de
. Isto significa: para derivar um produto, derivamos uma parcela e multiplicamos pela outra, e somamos o termo simétrico.
isto diz que ao derivar uma composição, derivamos a função externa em relação à interna e multiplicamos pela derivada da interna.
onde
é um número real.
Além disso usaremos as derivadas elementares:
Além disso usaremos as derivadas elementares:
Vou aplicar essas regras passo a passo de forma explícita (sem pular etapas).
Passo 3
Reescrevo
como produto de duas funções mais simples:
Assim
. Não estou resolvendo ainda, só defini as peças para aplicar as regras.
Passo 4
Derivo
usando a regra da potência combinada com a cadeia.
Aplicando com
e
:
Aplicando
Agora derivo
com a regra da cadeia:
. E
. Portanto
Substituindo:
Simplificando o fator numérico:
Passo 5
Derivo
. Novamente uso potência com
e
:
Agora
pela regra da cadeia:
. E
. Assim
Substituindo em
:
Ou escrito como fração:
Passo 6
Aplico a regra do produto
. Substituindo
:
Escrevendo cada termo de forma clara:
Passo 7
Faço uma simplificação algébrica para colocar em denominador comum
. Multiplico o primeiro termo por
e o segundo termo por
para obter o mesmo denominador:
Agora uno os numeradores sobre o mesmo denominador:
Pronto — esta é uma forma simplificada e compacta da derivada.