Calcule a derivada das seguintes funções:
f(x)=\operatorname{sen}^{5}(1-2 x)^{2}

Passo 1

O enunciado pede para calcular a derivada da função
f(x)=\operatorname{sen}^{5}\bigl((1-2x)^{2}\bigr).
Informações dadas:
\;f é a composição de funções — há uma potência de uma função seno cuja entrada é (1-2x)^{2}.
A tarefa é encontrar f'(x), a derivada de f em função de x.

Passo 2

Vamos identificar a estrutura da função e as regras de diferenciação que vamos usar (explicando como funcionam, passo a passo).
  1. Regra da potência (para uma função composta): se F(t)=t^{n} então
F'(t)=n\,t^{\,n-1}.
Aqui t pode ser uma expressão dependente de x (ou seja, t=t(x)). Quando t depende de x usamos a regra da cadeia (aplicada a seguir).
  1. Regra da cadeia (cadeia de composições): se F(x)=g(h(x)) então
F'(x)=g'\bigl(h(x)\bigr)\cdot h'(x).
Isto significa: derive a função exterior g avaliando-a em h(x) e multiplique pela derivada da função interior h(x).
  1. Derivada do seno: se s(u)=\operatorname{sen}(u) então
s'(u)=\operatorname{cos}(u)
e, aplicando regra da cadeia, \dfrac{d}{dx}\operatorname{sen}\bigl(u(x)\bigr)=\operatorname{cos}\bigl(u(x)\bigr)\cdot u'(x).
Exemplo rápido (para fixar): se y=(\operatorname{sen}(x))^{3}, então primeiro aplicamos a potência: 3\operatorname{sen}^{2}(x) e depois multiplicamos pela derivada de \operatorname{sen}(x), que é \operatorname{cos}(x). Ou seja, y'=3\operatorname{sen}^{2}(x)\operatorname{cos}(x).

Passo 3

Agora vamos aplicar essas regras à nossa função, de forma explícita e sem pular etapas.
Definimos a função interior em duas camadas:
u(x)=(1-2x)^{2},
v(u)=\operatorname{sen}(u),
e a função exterior
f(x)=\bigl(v(u(x))\bigr)^{5}=\operatorname{sen}^{5}\bigl(u(x)\bigr).
Primeiro aplicamos a regra da potência à função exterior w(z)=z^{5} com z=v(u(x)):
\frac{d}{dx}\bigl(\operatorname{sen}^{5}(u(x))\bigr)=5\operatorname{sen}^{4}\bigl(u(x)\bigr)\cdot\frac{d}{dx}\bigl(\operatorname{sen}(u(x))\bigr).
Isso é só a potência; agora precisamos da derivada de \operatorname{sen}(u(x)).

Passo 4

Derivamos a parte \operatorname{sen}(u(x)) usando a regra da cadeia (derivada do seno seguida da derivada de u(x)):
\frac{d}{dx}\bigl(\operatorname{sen}(u(x))\bigr)=\operatorname{cos}\bigl(u(x)\bigr)\cdot u'(x).
Agora calculamos u'(x) onde u(x)=(1-2x)^{2}. Aplicando a regra da potência novamente (com t=1-2x e u=t^{2}):
u'(x)=2(1-2x)\cdot\frac{d}{dx}(1-2x).
E \dfrac{d}{dx}(1-2x)=-2. Logo
u'(x)=2(1-2x)\cdot(-2)=-4(1-2x).

Passo 5

Juntando tudo: substituímos u'(x) e a derivada do seno na expressão do Passo 3:
f'(x)=5\operatorname{sen}^{4}\bigl(u(x)\bigr)\cdot\operatorname{cos}\bigl(u(x)\bigr)\cdot u'(x).
Substituindo u(x)=(1-2x)^{2} e u'(x)=-4(1-2x), temos
f'(x)=5\operatorname{sen}^{4}\bigl((1-2x)^{2}\bigr)\cdot\operatorname{cos}\bigl((1-2x)^{2}\bigr)\cdot\bigl(-4(1-2x)\bigr).

Passo 6

Simplificamos o coeficiente numérico 5\cdot(-4)=-20 e reescrevemos de forma arrumada:
f'(x)=-20(1-2x)\,\operatorname{sen}^{4}\bigl((1-2x)^{2}\bigr)\,\operatorname{cos}\bigl((1-2x)^{2}\bigr).

Resposta

f'(x)=-20(1-2x)\,\operatorname{sen}^{4}\bigl((1-2x)^{2}\bigr)\,\operatorname{cos}\bigl((1-2x)^{2}\bigr)

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