Calcule a derivada das seguintes funções:
Passo 1
O enunciado pede para calcular a derivada da função
Informações dadas:
é a composição de funções — há uma potência de uma função seno cuja entrada é
.
A tarefa é encontrar , a derivada de
em função de
.
A tarefa é encontrar
Passo 2
Vamos identificar a estrutura da função e as regras de diferenciação que vamos usar (explicando como funcionam, passo a passo).
- Regra da potência (para uma função composta): se
então
Aqui
pode ser uma expressão dependente de
(ou seja,
). Quando
depende de
usamos a regra da cadeia (aplicada a seguir).
- Regra da cadeia (cadeia de composições): se
então
Isto significa: derive a função exterior
avaliando-a em
e multiplique pela derivada da função interior
.
- Derivada do seno: se
então
e, aplicando regra da cadeia,
.
Exemplo rápido (para fixar): se
, então primeiro aplicamos a potência:
e depois multiplicamos pela derivada de
, que é
. Ou seja,
.
Passo 3
Agora vamos aplicar essas regras à nossa função, de forma explícita e sem pular etapas.
Definimos a função interior em duas camadas:
e a função exterior
Primeiro aplicamos a regra da potência à função exterior
com
:
Isso é só a potência; agora precisamos da derivada de
.
Passo 4
Derivamos a parte
usando a regra da cadeia (derivada do seno seguida da derivada de
):
Agora calculamos
onde
. Aplicando a regra da potência novamente (com
e
):
E
. Logo
Passo 5
Juntando tudo: substituímos
e a derivada do seno na expressão do Passo 3:
Substituindo
e
, temos
Passo 6
Simplificamos o coeficiente numérico
e reescrevemos de forma arrumada: