Calcule a derivada das seguintes funções:
Passo 1
O que o enunciado pede: calcular a derivada da função
.
Informações dadas: a função é a raiz cúbica (ou potência ) da função trigonométrica
aplicada ao argumento
.
Pergunta a responder: encontrar , isto é, a expressão da derivada em função de
(e indicar onde essa expressão vale).
Informações dadas: a função é a raiz cúbica (ou potência
Pergunta a responder: encontrar
Passo 2
Reescrevemos a função de forma mais conveniente para derivar usando potências:
Explicação didática: escrever uma raiz como potência é útil porque temos uma regra simples para a derivada de
: se
com
constante, então
Aqui
.
Passo 3
Apresento a regra que vamos usar: a regra da cadeia.
Se , ou seja, uma composição, então
Se
Essa regra diz: derivamos a função externa
avaliando-a na função interna
e multiplicamos pela derivada da função interna
. É como “derivar por dentro e por fora”.
Passo 4
Identificamos as funções externa e interna:
- função externa:
; - função interna:
.
Derivada da externa: usando a fórmula de potências,
Derivada da interna: precisamos da derivada de
em relação a
, que é
. Como aqui
, pela regra da cadeia para a interna,
Como
, obtemos
Passo 5
Agora aplicamos a regra da cadeia completa:
Organizando o sinal,
Passo 6
Colocamos a derivada numa forma alternativa mais “comum” (sem expoente negativo), usando
. Assim
Observações importantes sobre domínio e validade: a fórmula acima é válida nos pontos onde
está definida e diferente de zero (porque aparece a potência com expoente negativo; em
a derivada da forma
em
não é finita). Além disso, devemos excluir pontos onde
não está definida, isto é, onde
, isto é,
,
.