Calcule a derivada das seguintes funções:
g(x)=\sqrt[3]{\operatorname{tg}(1-x)}

Passo 1

O que o enunciado pede: calcular a derivada da função \,g(x)=\sqrt[3]{\operatorname{tg}(1-x)}.
Informações dadas: a função é a raiz cúbica (ou potência 1/3) da função trigonométrica \operatorname{tg} aplicada ao argumento 1-x.
Pergunta a responder: encontrar g'(x), isto é, a expressão da derivada em função de x (e indicar onde essa expressão vale).

Passo 2

Reescrevemos a função de forma mais conveniente para derivar usando potências:
g(x) = \sqrt[3]{\operatorname{tg}(1-x)} = \big(\operatorname{tg}(1-x)\big)^{1/3}.
Explicação didática: escrever uma raiz como potência é útil porque temos uma regra simples para a derivada de u^n: se f(u)=u^n com n constante, então
f'(u)=n\,u^{\,n-1}.
Aqui n=\tfrac{1}{3}.

Passo 3

Apresento a regra que vamos usar: a regra da cadeia.
Se g(x)=F(H(x)), ou seja, uma composição, então
g'(x)=F'\big(H(x)\big)\cdot H'(x).
Essa regra diz: derivamos a função externa F avaliando-a na função interna H(x) e multiplicamos pela derivada da função interna H'(x). É como “derivar por dentro e por fora”.

Passo 4

Identificamos as funções externa e interna:
  • função externa: F(u)=u^{1/3};
  • função interna: H(x)=\operatorname{tg}(1-x).
Derivada da externa: usando a fórmula de potências,
F'(u)=\frac{1}{3}u^{-2/3}.
Derivada da interna: precisamos da derivada de \operatorname{tg}(v) em relação a v, que é \operatorname{sec}^2 v. Como aqui v=1-x, pela regra da cadeia para a interna,
\frac{d}{dx}\big(\operatorname{tg}(1-x)\big)=\operatorname{sec}^2(1-x)\cdot\frac{d}{dx}(1-x).
Como \dfrac{d}{dx}(1-x)=-1, obtemos
H'(x) = -\operatorname{sec}^2(1-x).

Passo 5

Agora aplicamos a regra da cadeia completa:
g'(x)=F'\big(H(x)\big)\cdot H'(x) = \frac{1}{3}\big(\operatorname{tg}(1-x)\big)^{-2/3}\cdot\big(-\operatorname{sec}^2(1-x)\big).
Organizando o sinal,
g'(x) = -\frac{1}{3}\,\operatorname{sec}^2(1-x)\,\big(\operatorname{tg}(1-x)\big)^{-2/3}.

Passo 6

Colocamos a derivada numa forma alternativa mais “comum” (sem expoente negativo), usando (\operatorname{tg}(1-x))^{-2/3} = 1/(\operatorname{tg}(1-x))^{2/3} = 1/\sqrt[3]{\operatorname{tg}^2(1-x)}. Assim
g'(x) = -\frac{\operatorname{sec}^2(1-x)}{3\,\sqrt[3]{\operatorname{tg}^2(1-x)}}.
Observações importantes sobre domínio e validade: a fórmula acima é válida nos pontos onde \operatorname{tg}(1-x) está definida e diferente de zero (porque aparece a potência com expoente negativo; em \operatorname{tg}(1-x)=0 a derivada da forma u^{1/3} em u=0 não é finita). Além disso, devemos excluir pontos onde \operatorname{tg}(1-x) não está definida, isto é, onde \cos(1-x)=0, isto é, x = 1 -\big(\tfrac{\pi}{2}+k\pi\big), k\in\mathbb{Z}.

Resposta

-\dfrac{\operatorname{sec}^2(1-x)}{3\,\sqrt[3]{\operatorname{tg}^2(1-x)}}

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