6(1,5) Calcule a derivada das seguintes funçōes:
f(x)=\frac{3 x^{3}+5 x^{2}-1}{x^{2}-x}

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
f(x) = \frac{3x^{3} + 5x^{2} - 1}{x^{2} - x}
Este é um quociente de funções polinomiais, então vamos usar a regra do quociente: se u(x) e v(x) são diferenciáveis e
f(x)=\frac{u(x)}{v(x)},
então
f'(x)=\frac{u'(x)\,v(x)-u(x)\,v'(x)}{\bigl(v(x)\bigr)^{2}}.

Passo 2

Identificamos
u(x)=3x^{3}+5x^{2}-1, \quad v(x)=x^{2}-x.
Calculamos as derivadas de u e de v:
u'(x)=9x^{2}+10x, \quad v'(x)=2x-1.

Passo 3

Agora montamos o numerador de f'(x):
Primeiro,
u'(x)\,v(x)=(9x^{2}+10x)(x^{2}-x) =9x^{4}+x^{3}-10x^{2}.
Em seguida,
u(x)\,v'(x)=(3x^{3}+5x^{2}-1)(2x-1) =6x^{4}+7x^{3}-5x^{2}-2x+1.
Logo, o numerador de f'(x) é
u'v - u\,v' = (9x^{4}+x^{3}-10x^{2}) - (6x^{4}+7x^{3}-5x^{2}-2x+1) =3x^{4}-6x^{3}-5x^{2}+2x-1.

Passo 4

Colocando sobre \bigl(v(x)\bigr)^{2}=(x^{2}-x)^{2}, obtemos a derivada final:
f'(x)=\frac{3x^{4}-6x^{3}-5x^{2}+2x-1}{(x^{2}-x)^{2}},
válida para x\neq0 e x\neq1.

Resposta

f'(x)=\frac{3x^{4}-6x^{3}-5x^{2}+2x-1}{(x^{2}-x)^{2}}.

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