Determine o domínio das funções abaixo:
f(x)=\frac{\sqrt{x-2}}{\sqrt[3]{x^{2}-8 x+15}}

Passo 1

O enunciado pede o domínio da função
f(x)=\frac{\sqrt{x-2}}{\sqrt[3]{x^{2}-8x+15}}.
O conteúdo envolve domínio de funções com radicais: para a raiz quadrada precisamos que o radicando seja não negativo; para a raiz cúbica o radicando pode ser qualquer real, mas como está no denominador não pode ser zero.

Passo 2

Condição da raiz quadrada no numerador:
x-2\ge 0
Logo, x\ge 2.

Passo 3

Condição da raiz cúbica no denominador: o radicando pode ser qualquer real, mas não pode anular o denominador. Então exigimos
x^{2}-8x+15\neq 0.
Fatorando,
x^{2}-8x+15=(x-3)(x-5),
logo
x\neq 3,\quad x\neq 5.

Passo 4

Combinando x\ge 2 com x\neq 3,5, obtemos o domínio
[2,\infty)\setminus\{3,5\},
ou seja
[2,3)\,\cup\,(3,5)\,\cup\,(5,\infty).

Resposta

O domínio de f é
[2,3)\,\cup\,(3,5)\,\cup\,(5,\infty).

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