4(3,0) Calcule, quando existirem, justificando as respostas, os seguintes limites:
\lim _{x \rightarrow+\infty} x \operatorname{sen}\left(\frac{1}{x}\right)

Passo 1

Resumindo: precisamos calcular
\lim_{x\to+\infty} x \,\operatorname{sen}\!\Bigl(\frac{1}{x}\Bigr).
O assunto é limites infinitos envolvendo função trigonométrica para argumento pequeno. Vamos usar a substituição que transforma x\to+\infty em uma variável que tende a zero, e o limite trigonométrico fundamental \lim_{u\to0}\frac{\operatorname{sen}(u)}{u}=1.

Passo 2

Fazemos a mudança de variável
u = \frac{1}{x},
então, quando x\to+\infty, temos u\to0^+. Note também que x=\frac1u. Substituindo em x\,\operatorname{sen}\bigl(\tfrac1x\bigr) obtém-se
x\,\operatorname{sen}\!\Bigl(\frac{1}{x}\Bigr) = \frac{1}{u}\,\operatorname{sen}(u) = \frac{\operatorname{sen}(u)}{u}.

Passo 3

Agora aplicamos o limite trigonométrico fundamental:
\lim_{u\to0^+}\frac{\operatorname{sen}(u)}{u}=1.
Portanto
\lim_{x\to+\infty} x\,\operatorname{sen}\!\Bigl(\frac{1}{x}\Bigr) =1.

Resposta

1

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