Calcule a derivada das seguintes funções:
f(x)=\frac{1}{4 x^{5}-3 x^{3}-5 x+1}

Passo 1

O enunciado pede para calcular a derivada da função
f(x)=\frac{1}{4 x^{5}-3 x^{3}-5 x+1}.
Informações relevantes dadas:
  • A função está escrita como uma fração cujo denominador é o polinômio 4 x^{5}-3 x^{3}-5 x+1.
  • A pergunta é: calcular f'(x), a derivada de f em função de x.

Passo 2

Escolha do método e teoria necessária (explicação didática):
  • Quando temos uma função na forma f(x)=\dfrac{1}{h(x)}, é conveniente reescrever como f(x)=\big(h(x)\big)^{-1} e usar a regra da cadeia com a regra da potência.
  • Regra da potência (caso geral para funções do tipo x^n): a derivada de x^n é n x^{n-1}. Ou seja, para uma função u(x)=x^n,
\frac{d}{dx}u(x)=n x^{n-1}.
Aqui n é um número real e x a variável.
  • Regra da cadeia: se F(x)=G(H(x)), então
F'(x)=G'\big(H(x)\big)\cdot H'(x).
Isto significa: derivamos a função externa G avaliada na interna H(x) e multiplicamos pela derivada da interna H'(x).
  • Aplicando essas ideias ao caso f(x)=\big(h(x)\big)^{-1}: a função externa é G(u)=u^{-1} cuja derivada é G'(u)=-u^{-2}. Pela regra da cadeia,
f'(x) = -\big(h(x)\big)^{-2}\cdot h'(x) = -\frac{h'(x)}{\big(h(x)\big)^2}.
Essa fórmula é muito prática: para 1/h(x), diferenciamos h e colocamos um sinal negativo e o denominador ao quadrado.

Passo 3

Calcular a derivada do polinômio do denominador (a “interna” h(x)):
Defina
h(x)=4 x^{5}-3 x^{3}-5 x+1.
Agora derivamos termo a termo usando a regra da potência e a linearidade da derivada:
  • Derivada de 4 x^{5}: o coeficiente 4 multiplica a derivada de x^{5}, que é 5 x^{4}. Logo dá 4\cdot 5 x^{4}=20 x^{4}.
  • Derivada de -3 x^{3}: dá -3\cdot 3 x^{2}=-9 x^{2}.
  • Derivada de -5 x: é -5.
  • Derivada de 1: é 0.
    Somando tudo,
h'(x)=20 x^{4}-9 x^{2}-5.

Passo 4

Aplicar a fórmula para a derivada de 1/h(x):
Usando
f'(x)=-\frac{h'(x)}{\big(h(x)\big)^2},
substituímos h(x) e h'(x) obtidos:
f'(x)=-\frac{20 x^{4}-9 x^{2}-5}{\big(4 x^{5}-3 x^{3}-5 x+1\big)^{2}}.
Isso já é a forma simplificada e adequada para a resposta. Se quiser, poderíamos colocar o sinal negativo no numerador trocando os sinais dos termos, mas não há vantagem clara nisso aqui.

Passo 5

Exemplo extra rápido para fixar a ideia (mesma técnica, caso simples):
Considere g(x)=\dfrac{1}{x^{2}+1}. Aqui h(x)=x^{2}+1 e h'(x)=2x. Aplicando a mesma fórmula,
g'(x)=-\frac{2x}{(x^{2}+1)^{2}},
o que mostra concretamente como usar a regra da cadeia com o inverso.

Resposta

f'(x)=-\frac{20 x^{4}-9 x^{2}-5}{\big(4 x^{5}-3 x^{3}-5 x+1\big)^{2}}

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