Calcule a derivada das seguintes funções:
Passo 1
O enunciado pede para calcular a derivada da função
Informações relevantes dadas:
- A função está escrita como uma fração cujo denominador é o polinômio
. - A pergunta é: calcular
, a derivada de em função de .
Passo 2
Escolha do método e teoria necessária (explicação didática):
- Quando temos uma função na forma
, é conveniente reescrever como e usar a regra da cadeia com a regra da potência. - Regra da potência (caso geral para funções do tipo
): a derivada de é . Ou seja, para uma função ,
Aqui
é um número real e
a variável.
- Regra da cadeia: se
, então
Isto significa: derivamos a função externa
avaliada na interna
e multiplicamos pela derivada da interna
.
- Aplicando essas ideias ao caso
: a função externa é cuja derivada é . Pela regra da cadeia,
Essa fórmula é muito prática: para
, diferenciamos
e colocamos um sinal negativo e o denominador ao quadrado.
Passo 3
Calcular a derivada do polinômio do denominador (a “interna”
):
Defina
Defina
Agora derivamos termo a termo usando a regra da potência e a linearidade da derivada:
- Derivada de
: o coeficiente 4 multiplica a derivada de , que é . Logo dá . - Derivada de
: dá . - Derivada de
: é . - Derivada de
: é .
Somando tudo,
Passo 4
Aplicar a fórmula para a derivada de
:
Usando
Usando
substituímos
e
obtidos:
Isso já é a forma simplificada e adequada para a resposta. Se quiser, poderíamos colocar o sinal negativo no numerador trocando os sinais dos termos, mas não há vantagem clara nisso aqui.
Passo 5
Exemplo extra rápido para fixar a ideia (mesma técnica, caso simples):
Considere . Aqui
e
. Aplicando a mesma fórmula,
Considere
o que mostra concretamente como usar a regra da cadeia com o inverso.