Calcule a derivada das seguintes funções:
f(t)=5 t^{5}+\frac{1}{t^{6}}

Passo 1

O enunciado pede para calcular a derivada da função f dada por
f(t)=5\,t^{5}+\frac{1}{t^{6}}.
Informações importantes que o enunciado dá:
  • A função é f(t)=5\,t^{5}+\dfrac{1}{t^{6}}.
  • A expressão \dfrac{1}{t^{6}} só faz sentido para t\neq 0, então vamos lembrar que o domínio relevante é t\neq 0.
  • A tarefa é encontrar f'(t), a derivada em relação a t.

Passo 2

O que é derivada (explicação rápida e intuitiva): a derivada f'(t) mede a taxa de variação instantânea de f em relação a t. Formalmente, é o limite
f'(t)=\lim_{h\to 0}\frac{f(t+h)-f(t)}{h},
mas na prática usamos regras que resumem esse cálculo para funções polinomiais e potências.

Passo 3

Regra que vamos usar: a regra do poder (power rule) e a regra do múltiplo constante.
  • Regra do múltiplo constante: se g(t)=c\cdot h(t) com constante c, então g'(t)=c\cdot h'(t).
  • Regra do poder: para inteiro n, a derivada de t^{n} é
\frac{d}{dt}\bigl(t^{n}\bigr)=n\,t^{n-1}.
Justificativa curta da regra do poder (idéia): usando o limite e o Teorema do Binômio, (t+h)^{n}-t^{n} se expande e o termo linear em h é n\,t^{n-1}h; dividindo por h e fazendo h\to0 sobram apenas n\,t^{n-1}.

Passo 4

Aplicando a regra do poder ao primeiro termo 5\,t^{5}:
  • Use a regra do múltiplo constante com c=5 e h(t)=t^{5}.
  • Derivada de t^{5} pela regra do poder é 5\,t^{4}.
    Portanto,
\frac{d}{dt}\bigl(5\,t^{5}\bigr)=5\cdot 5\,t^{4}=25\,t^{4}.

Passo 5

Trate o segundo termo \dfrac{1}{t^{6}} reescrevendo como potência com expoente negativo:
\frac{1}{t^{6}}=t^{-6}.
Agora aplique a regra do poder para expoente -6:
\frac{d}{dt}\bigl(t^{-6}\bigr)=-6\,t^{-7}.
Logo a derivada do segundo termo é -6\,t^{-7}.

Passo 6

Some as deriva das parcelas (a derivada é linear, ou seja, soma das derivadas das parcelas):
f'(t)=25\,t^{4}-6\,t^{-7}.
Se preferir escrever sem expoentes negativos, use
f'(t)=25\,t^{4}-\frac{6}{t^{7}},
lembrando que isso vale para t\neq 0.

Resposta

f'(t)=25\,t^{4}-\dfrac{6}{t^{7}}

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