Calcule a derivada das seguintes funções:
Passo 1
O enunciado pede para calcular a derivada da função
dada por
Informações importantes que o enunciado dá:
- A função é
. - A expressão
só faz sentido para , então vamos lembrar que o domínio relevante é . - A tarefa é encontrar
, a derivada em relação a .
Passo 2
O que é derivada (explicação rápida e intuitiva): a derivada
mede a taxa de variação instantânea de
em relação a
. Formalmente, é o limite
mas na prática usamos regras que resumem esse cálculo para funções polinomiais e potências.
Passo 3
Regra que vamos usar: a regra do poder (power rule) e a regra do múltiplo constante.
- Regra do múltiplo constante: se
com constante , então . - Regra do poder: para inteiro
, a derivada de é
Justificativa curta da regra do poder (idéia): usando o limite e o Teorema do Binômio,
se expande e o termo linear em
é
; dividindo por
e fazendo
sobram apenas
.
Passo 4
Aplicando a regra do poder ao primeiro termo
:
- Use a regra do múltiplo constante com
e . - Derivada de
pela regra do poder é .
Portanto,
Passo 5
Trate o segundo termo
reescrevendo como potência com expoente negativo:
Agora aplique a regra do poder para expoente
:
Logo a derivada do segundo termo é
.
Passo 6
Some as deriva das parcelas (a derivada é linear, ou seja, soma das derivadas das parcelas):
Se preferir escrever sem expoentes negativos, use
lembrando que isso vale para
.